Добавил:

Kolobok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Расчет линейных электрич. цепей перем.тока

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.05.2014

Размер:

829.16 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

В цепи синусоидального тока выполняется баланс комплексных, активных и реактивных мощностей источников и нагрузок

∑S EJ = ∑S Z , ∑PEJ = ∑PZ , ∑QEJ = ∑QZ , l l l l l l

где S EJ , PEJ , QEJ комплексная, активная и реактивная мощности источников э. д. с. и тока, S Z , PZ , QZ комплексная, активная и реактивная мощности нагрузок Z . Суммирование в этих выражениях ведется по всем ветвям цепи.

Комплексная мощность источника э. д. с. E& или тока J& в зависимости от выбранных положительных направлений напряжений и токов определяется по выражениям, приведенным в таблице 2.3.

Таблица 2.3

S = E&I

= −

S = −EI

Комплексную мощность нагрузки

Z удобно вычислять по выражению

= ZI 2 = I 2 R + jI 2 X ,

S Z =U&Z I

= ZI&I

где U&Z комплексное действующее значение напряжения на нагрузке Z .

2.2. Решение типовых задач

Задача 2.1

Мгновенное значение

напряжения u =14,1sin(100t −30o)

В. Записать ком-

плексное мгновенное значение напряжения. Чему равна комплексная амплитуда и комплексное действующее значение этого напряжения?

Решение

По определению

-	комплексное мгновенное значение u =14,1e j(100t−30o) В,
-	комплексная амплитуда U&m =14,1e− j30o	В,
-	комплексное действующее значение U&	=U&m 2 =10e− j30o В.

Задача 2.2

Комплексное действующее значение тока I& = −3 + j4 А. Записать мгновенное значение тока i(t).

Решение

Комплексное действующее значение тока дано в алгебраической форме записи (рис. 2.2). Перепишем комплексное значение так:

I& = −3 + j4 = −(3 − j4) А.

Показательная форма имеет вид

I& =– 32 + 42 e− j arctg(43) = −5e− j53,13o = 5e j126,87o А.

Комплексная амплитуда

I&m = 2I& = 2 5e j126,87o = 7,07e j126,87o А.

По определению

	+ j
	+4
	I&
	ψi
−3	+1
	Рис. 2.2

i= Im[I&me jωt ] = Im[7,07e j126,87o e jωt ] = 7,07 sin(ωt +126,87o) А.

Впрограмме Mathcad мнимая единица определяется произведением 1j, знак умножения после набора цифры 1 не ставится. Ниже приведена программа для решения задачи.

j .4

I = 5

2.I

Im = 7.071

ψi arg(i)

ψi = 2.214

←Присвоение переменной i комплекса действующего значения.

←Вычисление модуля комплекса i (действующего значения тока).

←Вычисление амплитудного значения тока.

←Вычисление начальной фазы комплекса i в радианах.

ψi	arg(i).	180	← Вычисление начальной фазы комплекса i в градусах.

		π


ψi = 126.87

Задача 2.3 Мгновенные значения напряжения и тока на входе пассивного двухполюсника соответственно равны:

u =100sin 314t В; i = 0,2sin(314t +53o )А.

Определить комплексное сопротивление и комплексную проводимость двухполюсника.

Решение Комплексы действующего значения напряжения и тока равны:

U& = 1002 = 70,71 В; I& = 0,22 e j53o = 0,141e j53o А.

По определению:

Z = UI&& = 700,141,71 e− j53o = 501,5 e− j53o = 300,9 – j 399,3 Ом;

Y = UI&& = 700,141,71 e j53o = 1,994 10 –3 e j53o = 1,204 10 –3 + j 1.597 10 –3

Задача 2.4		i		C
				C
					iR
Действующее значение напряжения на входе цепи
Действующее значение напряжения на входе цепи
со схемой рис. 2.3 U = 100 В.	u					R
со схемой рис. 2.3 U = 100 В.
Найти действующие значения токов ветвей,
Найти действующие значения токов ветвей,
если XС = 20 Ом, R = 80 Ом, XL = 60 Ом. Прове-


рить выполнение баланса мощностей. Построить
векторные диаграммы токов и напряжений.			Рис. 2.3
			Рис. 2.3

Ом–1.

Решение

Пусть комплексное напряжение

U& =U =100 В.

Комплексные сопротивления:

ветвей: Z1 = − j XС = – j 20 Ом; Z 2 = R = 80 Ом; Z 3

= j XL = j 60 Ом,

участка 2-3: Z 23 =

Z 2 Z 3

80 j60

=28.8 + j 38.4 = 48 e j53,1o Ом,

Z 2 + Z 3

80 + j60

цепи: Z = Z1 + Z 23

=– j 20 + 28.8 + j 38.4 = 28.8 + j 18.4 = 34,176e j32,6o Ом.

Ток на входе цепи

100

2,466 – j 1,575 = 2,926e

− j32,6o

I =

А.

34,176e j32,6o

Напряжение на участке 2-3

U&23 = I&Z 23

=2,926e− j32,6o 48 e j53,1o = 140,45e j 20,5o

В.

Токи ветвей

I&R

U&23

140,45e j 20,5o

= 1.756e j 20,5o

А;

Z 2

I&L

U&23

140,45e j 20,5o

= 2,341e− j69,5o

А.

j60

Z 3

Действующие значения токов ветвей:

I =2,926 А; IR =1,756 А; IL = 2,341 А.

Баланс мощностей.

Комплексная мощность источника на входе цепи

= 100 2,926e j32,6o = 246,6 + j 157,5 ВА;

=U&I

РU = 246,6 Вт; QU = 157,5 ВА.

Комплексная мощность нагрузок

S Z = I 2 Z1 + IR2 Z 2 + IL2 Z 3 =2,926 2 (– j 20) + 1,756 2 80 + 2,341 2 j 60 =

РZ = 246,6 Вт;				=246,6 + j 157,5 ВА;
РZ = 246,6 Вт;			+ j
QZ = 157,5 ВА.
QZ = 157,5 ВА.
Баланс мощностей выполняется.			+1	I&R		U&
На рис. 2.4 в комплексной плоскости по-			+1			U&
строены векторные диаграммы токов и				I&	I&L	U&23
строены векторные диаграммы токов и				I&	I&L
напряжений. Напряжение			U&1
U&1 = I&Z1 =58,52e	− j122,6o	В	U&1
U&1 = I&Z1 =58,52e		В
на 90° отстает от тока I&. Ток I&R – в фазе,				Рис. 2.4
ток I&L на 90° отстает от напряжения U&23 .				Рис. 2.4

Задача 2.5
В цепи со схемой рис. 2.5 най-					C2	i2
ти	комплексы	действующих	1 i
значений токов ветвей, напря-			1 i				2
жений u12 и u34. Действующее			L1	a	R1	i1		3
значение синусоидального на-							i3	i4
пряжения U = 220 B. Активные				u12			i3	i4
сопротивления: R1 = 91 Ом; R3 =			u	u12			b	C3
сопротивления: R1 = 91 Ом; R3 =						u34		R4
510 Ом; R4 = 820 Ом.						u34		R4
Реактивные сопротивления на							R3
частоте ω источника напряже-
ния: X1 = ω L1 = 240 Ом;								4
X2 = 1/ ω C2 = 150 Ом;								4
X2 = 1/ ω C2 = 150 Ом;
X3 = 1/ ω C3 = 190 Ом.					Рис. 2.5
Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напря-
жений.

Решение

Назначаем положительные направления токов как на рис. 2.5. Пусть

U&		= U = 220 B.
Определяем комплексные сопротивления:
Z	1	= R	+ jX	1		= 91 + j240 = 256,67e j69o Ом;
		1
Z 2		= − jX2 = − j150 = 150e− j90o Ом;
Z	3	= R	− jX		3	= 510 − j190 = 544,24e− j20,4o Ом;
		3

Z 4 = R4 = 820 Ом.

Ветви R1 – L1 и С2 соединены параллельно, комплексное сопротивление

Z12

Z1 Z 2

=125 − j273,6 = 300,8e− j65,4o Ом.

Z1 + Z 2

Ветви R3 – C3 и R4 соединены параллельно, комплексное сопротивление

Z 34

Z 3 Z 4

= 324,5 − j70,78 = 332,18e− j37,5o Ом.

Z 3 + Z 4

Комплексное сопротивление цепи

Z = Z12

+ Z 34

= 449,5 − j344,4 = 566,3e− j37,4o

Ом.

Ток

100

= 0,39e j37,4

А.

566,3e− j37,4o

Напряжения:

U&12

= I&Z12 = 116,86e− j28o В; U&34 = I&Z 34

=129,05e j25o В.

Токи ветвей:

U&12

I&1

U&12

= 0,46e− j97,2o А,

I&2

= 0,78e j62o

А,

Z 2

I&3

I&4

= 0,24e j45,6

А,

= 0,16e j25

А.

Z 3

Z 4

Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже.

510 R4

820 X1

240

150

← Исходные данные.

190

220

rgd

180

← Формула перевода из радиан в

градусы.

← Комплекс действующего значе-

ния приложенного напряжения

j .X1

φ1

rgd.arg(z1)

← Расчет комплексных сопротив-

лений ветвей.

z1 = 91 + 240i

Z1 = 256.67

φ1 = 69.235

j .X2

φ2

rgd.arg(z2)

z2 =

150i

Z2 = 150

φ2 =

j .X3

φ3

rgd.arg(z3)

z3 = 510

190i

Z3 = 544.24

φ3 =

20.43

z4 = 820

z12

z1.z2

Z12

z12

φ12

rgd.arg(z12)

← Расчет комплексных сопротив-

лений участков 1–2 и 3–4.

z12 = 124.99

273.62i

Z12=300.8

φ12 =

65.45

z34

z3.z4

Z34

z34

φ34

rgd.arg(z34)

φ34 =

z34 = 324.55

70.78i

Z34 = 332.18

12.3

z12

z34

rgd.arg(z) Z

Z = 566.3

z = 449.54

344.4i

φ =

37.46

ψi

rgd.arg(i)

ψi = 37.46

i = 0.31 + 0.24i

I = 0.39

u12

i.z12

U12

u12

ψu12

rgd.arg(u12)

u12 = 103.19

54.85i

U12 = 116.86

ψu12 =

27.99

u34

i.z34

U34

u34

ψu34

rgd.arg(u34)

u34 = 116.81 + 54.85i

U34 = 129.05

ψu34 = 25.15

u12

ψi1

rgd.arg(i1)

ψi1 =

0.06

0.45i

I1 = 0.46

97.23

u12

ψi2

rgd.arg(i2)

ψi2 = 62.01

= 0.37 + 0.69i

I2 = 0.78

u34

ψi3

rgd.arg(i3)

ψi3 = 45.59

= 0.17 + 0.17i

I3 = 0.24

u34

ψi4

rgd.arg(i4)

ψi4 = 25.15

= 0.14 + 0.07i

I4 = 0.16

←Расчет комплексного сопротивления цепи.

←Расчет комплекса действующего

значения тока i.

←Расчет комплексов действующего значения напряжений u12 и u34 .

←Расчет комплексов действующего значения токов ветвей.

Баланс мощностей.

Комплексная мощность источника напряжения U

&	− j37,4o				− jψi
		= 67,85 − j51,98 ВА.	I	= Ie		– сопряженный
SU =UI = 220 0,39e
комплексный ток. Активная мощность PU = 67,85				Вт,	реактивная мощность
QU = −51,98 ВА. Характер реактивной мощности емкостной.

Комплексная мощность нагрузок

S Z = I12 Z1 + I22 Z 2 + I32 Z 3 + I42 Z 4 =

=0,462 ( 91+j 240) + 0,782 (– j 150) + 0,242(510 – j 190) + 0,162 820 =

=67,85 − j51,98 ВА.

Баланс мощностей выполняется.

Для построения топографической диаграммы напряжений и векторной диаграммы токов необходимо дополнительно рассчитать напряжения U&1a ;U&a2 ; U&3b ;U&b4 (рис. 2.5). Расчет в программе Mathcad приводится ниже.

u1a

i1.j .X1

u1a = 108.4

13.75i

u3b

i3.(

j .X3)

u3b = 32.18

31.53i

ua2

i1.R1

ua2 =

5.21

41.1i

ub4 = 84.63 + 86.38i

ub4

i3.R3

Диаграммы представлены на рис. 2.6.

I&4

+ j

I&3

I&2

I&1

Рис. 2.6

Задача 2.6	R

В цепи со схемой рис. 2.7 найти мгновенные значения токов i1 и i2.

Э. д. с. e(t) =12sin 314t В; R = 47 кОм;

С = 0,068 мкФ; Z =12000 + j25000 Ом.

Решение

Назначаем положительные направления токов как на рис. 2.7. Комплексная амплитуда э. д. с. E&m =12 В.

Комплексные сопротивления на частоте ω =

C 2		C
1		3
e(t)	R	Z
	2	Z
	2
i	i1	i2

Рис. 2.7

314 с–1:

-	участок 1–2	Z1	= − j	1		=− j	106	= – j 4.681 10 4	Ом,
				ωC			314 0,068

-	участок 1–3	Z 2	= R = 47 10 3 Ом,
-	участок 2–3	Z 3	= − j	1		=− j	106	= – j 4.681 10 4	Ом.
					ωC		314 0,068

В схеме рис. 2.7 нет ни последова-

тельно, ни параллельно соединенных уча-

стков. Поэтому с целью использования

Z12

Z13

Z 23

для расчета метода эквивалентных преоб-

разований заменяем треугольник из со-

противлений Z1 ;

Z 2 ; Z 3 эквивалентной

звездой (рис. 2.8).

e(t)

Комплексные сопротивления:

Z12 =

Z1 Z 2

; Z13 =

Z1 Z 3

; Z 23 =

Z 2 Z 3

где d = Z1 + Z 2 + Z 3 ,

Рис. 2.8

Z 01 = Z13 +

=1,41 10 4 – j 1.869 10 4

Ом,

Z 02

= Z 23 + Z =3,08 10 4 + j 1.56 10 4 Ом,

Z 0

Z 01 Z 02

=1.66 10 4 – j 6,76 10 3 Ом.

Z 01 + Z 02

Комплексные амплитуды токов ветвей:

I&m =

E&m

= 0,308 e j 24,5o

мА;

Z12 + Z 0

Z 0

= 0,236 e

j55,4o

= 0,16 e

− j 24,4o

I1m

Z 01

мА; I2m =

Z 02

мА.

Мгновенные значения токов:

i = 0,236sin(314t +55,4o )мА; i = 0,16sin(314t − 24,4o )мА.

Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже.

2.π.f

ω = 314.159

← Исходные данные.

47.103

0.068.10 6

12.103

j .25.103

← Комплекс амплитудного зна-

чения э. д. с.

← Расчет комплексных сопро-

тивлений участков.

ω.C

z1 =

4.681 104 j

z2 = 4.7 104

z3 =

4.681 104 j

← Эквивалентные преобразова-

z1.z2

z1.z3

z2.z3

z12

z13

z23

ния из треугольника в звезду.

← Расчет комплексных сопро-

z01

z13

z01 = 1.412 104

1.869 104 j

тивлений.

z02

z23

z02 = 3.077 104

+ 1.558 104 j

z01.z02

z0 = 1.663 10

6.761 10 j

z01

z02

im = 2.804 10

+ 1.282 10

4 j

← Расчет комплексных ампли-

z12

Im.1000 = 0.308

туд токов.

ψim

180.

ψim = 24.567 u0m

arg(im)

im z0

i1m

u0m

i1m.1000 = 0.134 + 0.194j

z01

I1m.1000 = 0.236

I1m

i1m

ψi1m

180

.arg(i1m)

ψi1m = 55.39

i2m

u0m

i2m.1000 = 0.146

0.066j

z02

I2m.1000 = 0.16

I2m

i2m

ψi2m

180

.arg(i2m)

ψi2m =

24.405

2.3. Задачи и вопросы для самоконтроля

1. Мгновенное значение напряжения u =10sin(100t +90o) В. Записать ком-

плекс мгновенного значения. Чему равна комплексная амплитуда и комплекс действующего значения этого напряжения?

2. Комплексная амплитуда тока I&m = 80 − j60 мА. Изобразить I&m на ком-

плексной плоскости. Записать показательную форму комплексной амплитуды. Чему равно действующее значение этого тока?

3. Ток I& = 0,05 – j 0.087 А на пассивном участке цепи создает напряжение

U& = 200e j30o В. Изобразить на комплексной плоскости векторные диаграммы тока и напряжения. Чему равно комплексное сопротивление участка цепи?

4. Для пассивного двухполюсника (рис. 1.5) экспериментально определены: U =

10 В; I = 2 А; ϕ = – 30°. Определить комплексное сопротивление и комплексную проводимость двухполюсника.

5. Мгновенные значения напряжения и тока на входе пассивного двухполюсника соответственно равны:

u =100sin(314t +90o )В; i = 0,2sin(314t +53o )А.

Определить комплексное сопротивление и комплексную проводимость двухполюсника. Чему равна комплексная мощность двухполюсника?

6. Найти комплексные сопротивления Z и проводимости Y цепей со схемами рис. 1.14.

7. Найти мгновенные значения токов ветвей цепи со схемой рис. 2.9. Действующее значение напря-

жения U =100 В, R = X L = XC =10 Ом. Рассчитать комплексную мощность источ-

ника. Проверить выполнение баланса мощностей. Построить векторные диаграммы тока и напряжения.

8. Найти комплексы действующих значений токов ветвей и напряжения между точками a и b (рис. 2.10), если действующее значение напряжения u равно 100 В, R =20 Ом,

X L = 2XC =10 Ом.

Проверить выполнение баланса мощностей. Построить векторные диаграммы тока и напряжения.

9.Для цепей со схемами рис. 2.11 не выполняя расчета построить векторные диаграммы токов и топографические диаграммы напряжений.

10.Записать выражения комплексных мгновенных, амплитудных и действующих значений синусоидальных напряжения, токов.

i	L		i2
		i1	C
U	U RC	R	C
U	U RC	R

Рис. 2.9

	i
		R	R
u	а	uab	b
u	а	X L	b
		X L	XC
			XC
		i1	i2
		Рис. 2.10

11.Как определяется комплексное сопротивление пассивного участка цепи?

12.Как определяется комплексная проводимость пассивного участка цепи?

R1	L		R1
		C	R2
	R2	u	R2
u	R2	u	L
		R3	C
			C

Рис. 2. 11

13.Записать уравнения идеальных элементов R , L и С в цепи синусоидального тока. Нарисовать на комплексной плоскости векторные диаграммы напряжения и тока для этих элементов.

14.Как рассчитать комплексную мощность пассивного участка цепи?

15.Как рассчитать комплексную мощность источников напряжения и тока?

16.Как составить уравнения баланса мощностей в комплексной форме записи?

17.Записать выражения комплексных сопротивлений ветвей цепей со схемами рис. 2.11.

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
25.05.2014264.7 Кб36Методичка по семинарам 1.doc
#
25.05.2014430.08 Кб14Методичка по семинарам 2.doc
#
25.05.2014769.54 Кб32Методы расчета электрических цепей, содержащих четырехполюсники и управляемые элементы,Фатхеев.doc
#
25.05.20146.96 Mб76Ответы на экзаменационные вопросы.doc
#
25.05.2014412.09 Кб23Расчет линейн.электр.цепей пост.тока.pdf
#
25.05.2014829.16 Кб23Расчет линейных электрич. цепей перем.тока.pdf
#
25.05.201487.55 Кб60Расчет электрических цепей однофазного синусоидального тока. Вариант 11.DOC
#
25.05.201495.23 Кб23ргр №1.doc
#
25.05.2014246.78 Кб29РГР3 ЭСиС.doc
#
25.05.2014378.88 Кб16РГР№1. Чечулина.doc
#
25.05.2014182.78 Кб99трансформатр(АТС 5й семестр).doc