Расчет линейных электрич. цепей перем.тока

3. Расчет разветвленных цепей синусоидального тока комплексным методом

3.1. Общие сведения

Переход от вещественных синусоидальных функций времени токов и напряжений к их изображению в комплексной форме записи позволяет распространить методы расчета разветвленных цепей постоянного тока на расчет разветвленных цепей синусоидального тока.

Каноническая форма уравнений метода узловых напряжений для случая трех независимых узлов имеет вид

Y11 U&10 –Y12 U&20 –Y13 U&30 = J&11 ;

–Y 21 U&10 +Y 22 U&20 –Y 23 U&30 = J&22 ;

–Y 31 U&10 –Y 32 U&20 +Y 33 U&30 = J&33 ,

где Y11 ; Y 22 ; Y 33 – собственные комплексные проводимости ветвей, принадлежащих узлам, Y12 =Y 21 ; Y 23 =Y 32 ; Y13 =Y 31 – общие комплексные проводимости ветвей одновременно принадлежащих двум узлам, J&11 ; J&22 ; J&33 – узловые токи.

Каноническая форма уравнений метода контурных токов для случая трех независимых контуров имеет вид

Z11 I&11 + Z12 I&22 – Z13 I&33 = E&11 ;

новременно принадлежащих двум контурам, E&11 ; E&22 ; E&33 – собственные э. д. с. контуров.

Правила получение узловых и контурных уравнения остаются такими, как в цепях постоянного тока.

Схема и граф обобщенной ветви цепи синусоидального тока показаны на рис. 3.1. Уравнения Кирхгофа в матричной форме для электрической цепи со схемой, имеющей b обобщенных ветвей и q узлов, имеют вид

A I& = 0 ;

B U& = 0.

Матрицы соединений (инциденций) А и главных контуров В составляются по тем же правилам, что в цепи постоянного тока.

31

плексных действующих значений узловых токов, получим узловые уравнения в матричной форме

YnnU& n0 = J&nn .

Решение этого уравнения

U& n0 = Ynn−1 J&nn

определяет матрицу комплексных действующих значений узловых напряжений. Далее рассчитываются напряжения

Матричное контурное уравнение для цепи синусоидального тока имеет вид

B ZbBT I&nn = −B ZbJ&b + B E&b .

Обозначив через Znn = B ZbBT квадратную матрицу комплексных контурных сопротивлений, через E& nn = −B ZbJ&b + B E&b матрицу комплексов действующих значений э. д. с. контуров, получим контурное уравнение в матричной форме

Znn &Inn = E&nn .

Решение этого уравнения

&Inn = Znn−1 E& nn

32

определяет матрицу комплексных контурных токов. Далее рассчитываются токи ветвей:

I& = BT I&nn ; I&b = I& + J& ,

Уравнение второго закона Кирхгофа для принятого на рис. 3.1 направления обхода контура имеет вид

U& – I& Z =– E& .

Откуда

− j π

U& = I& Z – E& = 15e 6 – 220 = – 267,6 – j 47,2 В.

Действующее значение напряжения равно:

U = U& = 271,8 В.

33

Из первого уравнения получаем:

I&=J&+ I&b = –j 20 + 91,2 – j 5 = 91,25 – j 25 = 94,75 e− j15,6o А.

Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже.

Задача 3.3

Цепь со схемой рис. 3.3 содержит идеальный операционный усилитель ОУ. Па-

34

Токи

I& =U&вх −U&R3 ;

1 R1

I&1 = – I&2 .

Комплексное действующее значение выходного напряжения определяется из уравнения Кирхгофа

U&вых = U&вх – I&1 R1 + I&2 R2 .

Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже. Расчет ведется относительно комплексных амплитуд.

В цепи со схемой рис. 3.4 найти комплексные действующие значения токов ветвей. Действующее значение синусоидального напряжения U = 220 B. Активные сопротивления: R1 = 91 Ом; R3 = 510 Ом; R4 = 820 Ом. Реактивные сопро-

тивления: X1 = ω L1 = 240 Ом; X2 = 1/ ω C2 = 150 Ом; X3 = 1/ ω C3 = 190 Ом.

Расчет выполнить методом узловых напряжений.

35

R3

4

Рис. 3.4

Решение

Комплексные сопротивления ветвей рассчитаны в задаче 2.5. Имеем:

36

Напряжения U&10 и U&30 определяем методов узловых напряжений. Узловые уравнения имеют вид: