Добавил:

Kolobok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Расчет линейных электрич. цепей перем.тока

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.05.2014

Размер:

829.16 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

R	L1	R1	M
1		R1	M
1

M	U	L1	L2	U
U	R2	C		U
C		C
Рис. 4.13		Рис. 4.14

9.Две индуктивности соединены параллельно согласно (встречно). Чему равна их эквивалентная индуктивность?

10.Выполнить развязку индуктивных связей и записать выражение для входного сопротивления цепи со схемой рис. 4.13.

11. Найти действующее значение тока в цепи					M
со схемой рис. 4.15. R =10 Ом,					M
ωL1 = ωL2 =1 ωC = 20 Ом, ωM =15 Ом,			L			L
ωL1 = ωL2 =1 ωC = 20 Ом, ωM =15 Ом,			L			L
U =100 В.	U	1				2
U =100 В.	U			C
12. Рассчитать входное сопротивление цепи со				C		R
12. Рассчитать входное сопротивление цепи со						R
схемой рис. 4.15 для случая согласного вклю-


чения индуктивностей L1 и L2 .				Рис. 4.15
				Рис. 4.15

13.Построить векторную диаграмму напряжений цепи со схемой рис. 4.15.

14.Записать в общем виде выражение входного комплексного сопротивления цепи со схемой рис. 4.15.

15.Записать уравнения метода контурных токов для цепи со схемой рис. 4.16.

Э. д. с. e(t) = Em sin ωt .

	R1	M
i1	R1		R2	i2
i1				i2
	uL1		L2
	uL1	L1	uL2
		L1	uL2
				R
e(t)		uC	C
		uC	i3
			i3
		Рис. 4.16

5.Расчет установившихся режимов электрической цепи периодического несинусоидального тока

5. 1. Общие сведения

Периодическую несинусоидальную функцию, например напряжения u(t) = = u(t +T ) , где Т – период, можно представить тригонометрическим рядом Фурье

					∞
			u(t) =U0 + ∑(Bk sin kωt +Ck cos kωt) .
					k=1
Коэффициенты ряда определяются формулами Эйлера:
	1	T		2	T			2	T
	T	∫0		T	∫0			T	∫0
A =			u(t) dt ; B =		u(t) sin kωt dt ; C	k	=		u(t) cos kωt dt .
0			k			k

Ряд Фурье можно представить в другой более удобной при расчетах форме:

∞

u(t) =U0 + ∑Ukm sin(kωt + ψk ) ,

k=1

где U	km	=	B2	+C 2	; ψ	k	= arctg	Ck	.

			k	k				Bk

Поскольку ω = 2πf = 2πT , то

∞	2π
u(t) =U0 + ∑Ukm sin(k		t + ψk ) .

k=1	T

Гармоника с номером k = 1 имеет период заданной функции и называется основной. Остальные гармоники называются высшими.

Каждой гармонической составляющей периодической несинусоидальной функции, например напряжения u(t), можно поставить в соответствие ее ком-

плексную амплитуду U&km =Ukme jψk . Набор амплитудных значений Ukm назы-

вается дискретным частотным спектром, а набор ψk – дискретным фазовым спектром напряжения u(t).

Расчет линейной электрической цепи с одним или несколькими источниками периодических несинусоидальных э. д. с. и (или) токов состоит из следующих этапов.

1. Функции э.д.с. и токов источников представляют рядом Фурье вида

A0 + ∑Ak sin(kωt + ψk ) с конечным числом членов. Для расчета обычно

k=1

берут постоянную составляю, основной гармонику и две, три высших гармонических составляющих.

2.Решают основную задачу расчета цепи для каждой составляющей ряда п. 1. Токи (напряжения) ветвей определяют по принципу наложения. Расчет гармонических составляющих ведется комплексным (символическим) методом. Необходимо помнить, что величины реактивных сопротивлений зависят от частоты (от номера гармоники):

ХL(kω) = kωL; XC (kω) = kω1C .

Действующие значения токов и напряжений определяют по выражениям:

I = I02 + I12 + I22 +KIk2 +K;

U = U02 +U12 +U22 +KUk2 +K. ,

где I0, U0 – величины постоянной составляющей, I1, U1, I2, U2 и т. д. – действующие значения гармонических составляющих тока и напряжения, соответственно.

Активная мощность

1 T

P = T ∫0 uidt

представляет собой сумму активных мощностей постоянной составляющей и каждой гармонической составляющей

P =U0 I0 +U1I1 cosϕ1 +U2 I2 cosϕ2K+Uk Ik cosϕk +K.

Реактивная мощность

Q =U1I1 sin ϕ1 +U2 I2 sin ϕ2 K+Uk Ik sin ϕk +K. .

Здесь ϕ1 = ψu1 −ψi1 ; ϕ2 = ψu 2 −ψi2 ; ϕk = ψuk −ψik – углы сдвига фаз между напряжением и током на участке цепи на первой, второй и высших гармониках.

Полная мощность

S = U02 +U12 +U22 +KUk2 +K I02 + I12 + I22 +KIk2 +K =UI .

При несинусоидальных напряжениях и токах S 2 ≥ P2 +Q2 . Величину

T = S 2 −(P2 +Q2 )

называют мощностью искажения.

Коэффициент мощности kм в цепи несинусоидального тока определяется по выражению:

kм = PS = UIP .

Степень отличия несинусоидальной функции, не имеющей постоянной

∞

составляющей, например напряжения u(t) = ∑Ukm sin(kωt + ψk ) , от синусои-

k=1

дальной формы характеризуют коэффициенты:

− формы kф = U ,

Ucp

−амплитуды ka = UUmax ,

−искажения kи = UU1 .

1 T

Здесь: U действующее, Umax максимальное, Ucp = T ∫0 u(t)dt среднее по

модулю значения напряжения u(t) , U1 действующее значение основной (первой) гармоники напряжения u(t) .

Для синусоидального напряжения kф =1,11; kа

2 ; kи =1.

В радиотехнике и электронике для оценки искажений пользуются коэф-

фициентом гармоник

kг = 1

∞

∑Uk2 .

k=2

При отсутствии постоянной составляющей (U0 =0)

kг = 1

1 − kи2 .

kи

5. 2. Решение типовых задач

Задача 5.1

Найти разложение в ряд Фурье для по-

u(t)

следовательности прямоугольных им-

Umax

пульсов напряжения (рис. 5.1).

Параметры импульса: Um =10 В, час-

тота следования f = 1000 Гц, длитель-

ность импульса tим = T 4 .

Решение

tим

3T t

Период следования импульсов

Рис. 5.1

T =

=10−3 с.

1000

Аналитическое выражение напряжения u(t) имеет вид

u(t) = Um , 0 ≤ t ≤ tим,

0, tим < t <T.

Ряд Фурье содержит постоянную составляющую и гармонические составляю-

щие Вk и Сk. Положим k = 9, тогда

u(t) =U0

+ ∑Ukm sin(k 2πt + ψk ) .

k=1

Постоянная составляющая

1 tим

∫0

u(t) dt =

∫0

Um dt =

10t

=2,5 В.

Гармонические составляющие ряда:

2 T

2 tим

∫0

u(t) sin ωt dt =

sin ωt dt =

ωT

2 10

−cos ωt

−cos

+ cos 0 =

= 3,183 В;

Tω

2π

2 T

2 tим

∫0

u(t) cos

ωt dt =

cos ωt dt =

ωT

2 10

sin ωt

sin

−sin 0

= 3,183 В;

Tω

2π

2 T

2 tим

∫0

u(t) sin2 ωt dt =

sin 2ωt dt =

2ωT

−cos 2ωt

−cos

+ cos 0

(1+1)

= 3,183 В;

2ωT

ωT

2π

2 T

2 tим

∫0

C2 =

u(t) cos 2ωt dt =

Um cos 2ωt dt =

2ωT

sin 2ωt

sin

−sin 0 = 0 В;

ωT

2π

2 T

2 tим

∫0

u(t) sin3 ωt dt =

sin 3ωt dt =

3ωT

−cos 3ωt

−cos

+ cos 0 =

= 1,061 В;

3ωT

3π 3π

2 T

2 tим

∫0

C3 =

u(t) cos 3ωt dt =

cos 3ωt dt =

3ωT

sin 2ωt

sin

−sin 0

= – 1,061 В;

3ωT

3π

2 T

2 tим

∫0

B =

u(t) sin4

ωt dt

sin 4ωt dt =

4ωT

−cos 4ωt

−cos

+ cos 0

= 0 В;

4ωT

2 T

2 tим

∫0

C4 =

u(t) cos 4ωt dt =

cos 4ωt dt =

4ωT

sin 4ωt

sin

−sin 0

= 0 В.

4π

4ωT

Выполнив вычисления для остальных высших гармоник, получим:

В5 = 0,637		В; С5 =		0,637 В;
В6	= 1,061	В; С6	=	0	В;
В7	= 0,455	В; С7	= –		0,455 В;
В8 = 0 В; С8 = 0 В;
В9	= 0,354	В; С9	=	0,354 В,

Для представления ряда в форме

u(t) =U0 + ∑Ukm sin(k 2πt + ψk )
9
k=1	T
запишем комплексные амплитуды ряда U&		km	= B + jC	k	:
		km	k	k
U&1m = 3,183 + j3,183 = 4,502e j0,785 В; U&2m = 3,183 В,
U&3m =1,061− j1,061= 1,501e− j0,785		В; U&4m = 0 В,

U&5m = 0,637 + j0,637= 0,9e j0,785 В; U&6m =1,061 В, U&7m = 0,455 − j0,455= 0,643e− j0,785 В; U&8m = 0 В, U&9m = 0,354 + j0,354 = 0,5e j0,785 В.

Начальные фазы комплексных амплитуд даны в радианах. Так как 0,785 рад. = 45°, то ряд Фурье имеет вид

u(t) =2,5 + 4,502 cos(ωt + 45o) + 3,183 cos 2ωt + 1,501 cos(3ωt − 45o)+

+ 0,9 cos(5ωt + 45o) +1,061 cos 6ωt + 0,643cos(7ωt − 45o)+ 0,5 cos(9ωt + 45o) В.

Расчет коэффициентов ряда удобно выполнять в пакете Mathcad. Ниже

приводится программа вычисления коэффициентов ряда.

← Задание

исход-

T = 1 10 3

U1m

1000

tim

1 .. 9

ных данных,

числа

гармоник ряда Фу-

tim

1 .

U1m dt

U0 = 2.5

рье.

← Расчет постоян-

ной составляющей

2 .

tim

2.π .

2 .

tim

. 2.π .

U0.

← Расчет коэффи-

U1m sin k

U1m cos k

циентов ряда.

Расчет

ком-

arg u

←

плексных

ампли-

Umk

ψk

туд ряда Фурье.

3.183

3.183j

4.502

0.785

3.183

1.061

1.061j

1.501

0.785

6.761j.10 9

6.761.10 9

1.571

0.637

0.637j

0.9

0.785

1.988.10 15

1.061

0.455

0.455j

0.643

0.785

9.215j.10 6

9.215.10 6

1.571

0.354

0.354j

0.5

0.785

0 ,

T ..

2.T

u(t)

U1m if

t<tim

←

Определение

интервала

расчета

100

U1m if T<t<T

tim

и функции u(t) .

otherwise

2.π

←

Ряд

Фурье

uf(t)

Um .sin

uf (t).

k = 1

←

Графики

на-

пряжения

u(t)

u( t)

ряда Фурье uf (t).

По

оси

абсцисс

uf( t)

отложено время в

секундах,

по

оси

ординат–

напря-

4 10 4

8 10 4

0.0012

0.0016

0.002

жение в вольтах.

Задача 5.2

Напряжение и ток на пассивном участке цепи соответственно равны: u(t) =10+ 14,1sin 314t + 14,1sin 942t В; i(t) =1+ 1,41sin(314t −30o) А.

Найти действующие значения напряжения и тока, коэффициент мощности цепи.

Решение

Действующие значения напряжения и тока:

U = 102 +142,12 +142,12 =17,3 В;

I = 12 +1,412 2 =1,41 А.

Коэффициент мощности

kм= PS = UIP .

Активная мощность

P =10 +142,1 1,412 cos 30o = 10 + 8,66 = 18,66 Вт.

Полная мощность

S =17,3 1,41= 24,4 ВА.

Коэффициент мощности kм = 0,765.

Задача 5.3

К цепи со схемой рис. 5.2 приложено напря-			R i1	i
жение u(t) =10 + 14,1sin ωt + 14,1sin 3ωt В.				3
жение u(t) =10 + 14,1sin ωt + 14,1sin 3ωt В.				i2
Найти мгновенное значение	тока i1 ,	если
Найти мгновенное значение	тока i1 ,	если
R =10 Ом, а на частоте ω напряжения u(t) u(t)				C	L
реактивные сопротивления	XC =30	Ом,
реактивные сопротивления	XC =30	Ом,
X L =30 Ом.
X L =30 Ом.			Рис. 5.2
Решение			Рис. 5.2
Решение

Рассчитываем ток i10 для постоянной составляющей U0 =10 В. На постоянном токе емкость С – разрыв, индуктивность L – короткое замыкание.

По закону Ома ток

i10 = UR0 = 1010 = 1 А.

Расчет гармонических составляющих выполняем символическим методом.

Первая гармоника

u1 (t) =14,1sin ωt .

Комплексная амплитуда

U&m1 =14,1 В.

Комплексное сопротивление

					1
		jωL	− j
		jωL	− j
Z LC1 =					ωC	=
Z LC1 =		jωL − j		1		=
		jωL − j		ωC
следовательно				ωC
следовательно
I&1	= 0 (на участке L −C
m1

Третья гармоника

j30 (− j30) = − j∞, j30 − j30

имеет место резонанс токов).

u3 (t) =14,1sin 3ωt .

Комплексная амплитуда

U&m3 =14,1 В.

Комплексное сопротивление

j3ωL

− j

j90 (− j10)

Z LC3

3 C

=–11,25 j Ом.

j90 − j10

j3ωL − j

Ток

3ωC

U&m3

I&1

14,1

=0,94e j 48,4 А.

R + Z LC 3

10 −11,25 j

Мгновенное значение

)= 0,94sin(3ωt + 48,4o) А.

i1 (t) = Im(I&1

e j3ωt

Для тока i1 получим:

i1 (t) =1 + 0,94sin(3ωt + 48,4o) А.

Задача 5.4

К цепи со схемой рис. 5.3 приложено периодическое несинусоидальное напря-

жение u(t) =10 sin 314t В (рис. 5.4).

Найти мгновенные и действующие значения тока i1 и напряжения u23 . Рассчи-

тать активную мощность, потребляемую цепью. Параметры цепи: R1 = 15 Ом;

R2 = 200 Ом; L = 0,15 Гн; С = 200 мкФ.

i1	R1	L			u(t)	B
					10,0	B
u(t)		u23	C	R2	5,0
u(t)		u23		R2	5,0
					0	0	0,01	c	t
		Рис. 5.3				0	0,01	0,02	t
		Рис. 5.3					Рис. 5.4
							Рис. 5.4

Решение

Раскладываем в ряд Фурье функцию напряжения u(t) . Функция u(t) – четная, в разложении будет постоянная составляющая U0 и гармонические составляющие Ck cos kωt . Период функции приложенного напряжения Т= 0,01 с. Цикли-

ческая частота основной гармоники ω = 2Tπ = 628 с–1. Следовательно, ω = 2ω0 ,

где ω0 = 314 с–1. Заданную функцию мощно представить в виде ряда u(t)Φ = U0 + C1 cos ωt + C2 cos 2ωt + C3 cos 3ωt + K =

= U0 + C1 cos 2ω0t + C2 cos 4ω0t + C3 cos 6ω0t + K .

Вычисляем коэффициенты ряда. Постоянная составляющая

		1	T	1	0,01
U0	=		u(t) dt =		10sin 314t dt = 6,366 В.
		T
			∫0	0,01 ∫0

Коэффициенты ряда первых трех гармоник:

			2 T
C		T			∫0	t cos 2ω	t d t = −4,244 В,
C	=				10sin ω	t cos 2ω	t d t = −4,244 В,
1				0		0
			2 T
C2	=				∫0
			T		∫0
					10sin ω0t cos 4ω0t d t = −0,849 В,
			2 T
C3	=				∫0
			T		∫0
					10sin ω0t cos 6ω0t d t = −0,364 В.

Ряд Фурье для постоянной составляющей, основной и двух высших гармоник имеет вид

u(t)Φ = 6,366 −4,244 cos2ω0t −0,849 cos 4ω0t −0,364 cos 6ω0t В.

Расчет для постоянной составляющей U 0 = 6,366 В.

I10 =	U 0	=0,03 А, U 230 = I10 R =5,922 В.

	2
	R1 + R2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
25.05.2014264.7 Кб33Методичка по семинарам 1.doc
#
25.05.2014430.08 Кб12Методичка по семинарам 2.doc
#
25.05.2014769.54 Кб30Методы расчета электрических цепей, содержащих четырехполюсники и управляемые элементы,Фатхеев.doc
#
25.05.20146.96 Mб67Ответы на экзаменационные вопросы.doc
#
25.05.2014412.09 Кб21Расчет линейн.электр.цепей пост.тока.pdf
#
25.05.2014829.16 Кб21Расчет линейных электрич. цепей перем.тока.pdf
#
25.05.201487.55 Кб57Расчет электрических цепей однофазного синусоидального тока. Вариант 11.DOC
#
25.05.201495.23 Кб20ргр №1.doc
#
25.05.2014246.78 Кб27РГР3 ЭСиС.doc
#
25.05.2014378.88 Кб13РГР№1. Чечулина.doc
#
25.05.2014182.78 Кб94трансформатр(АТС 5й семестр).doc