Вопрос 4
если u=f(x,y,z) дифференцируемая функция переменных x,y,z, причем z=φ(x,y), дифференцируемая функция независимых переменных x и у, то частная производная ∂u/∂y вычисляется по формуле ∂u/∂y =∂f/∂y+∂f/∂z*∂z/∂y
выражение lim∆x->0 (f(x0+∆x,y0)-f(x0,y0))/∆x называется частной производной по x.
разность f(x0+∆x,y0+∆x)-f(x0,y0) называется полным приращением ф-ии z=f(x,y)
выражение limdy->0 (f(x0,y0+dy)-f(x0,y0))/dy называется частной производной по у
разность f(x0+dx,y0)-f(x0,y0) называется частным приращением по переменной x=dxf
Прирощение ∆xZ по переменной функции z=f(x,y) вычисляется по формуле ∆xZ = (x+∆x,y)-f(x,y).
Частной производной по y функции z=f(x,y) в точке P0(x0,y0) называется
δZ/δy=lim∆y->0 f(x,y+∆y)-f(x,y)/∆y=f ’y
Прирощение ∆yZ по переменной функции z=f(x,y) вычисляется по формуле ∆yZ = (x,y+∆y)-f(x,y).
Частной производной по x функции z=f(x,y) в точке P0(x0,y0) называется
δZ/δx=lim∆x->0 (x+∆x,y)-f(x,y)/∆x=f ’x
Полное приращение z=(x+∆x,y+∆y)-f(x,y).
Вопрос 5
необходимыми усл-ми диф-ти ф-ии z=f(x,y) производных
если ф-я ∂f(x,y)/∂x имеет частную производную по y, то эта производная наз-ся смешанной производной и обозначается ∂2f(x,y)/∂x∂у
для z=f(x,y) ∂2f/∂y2, по определению, есть частная производная от ее частной производной первого порядка
если ф-я δf(x,y)/δx имеет частную производную по х, то эта производная наз-ся частной производной второго порядка и обозначается δ2f(x,y)/δx2
для дважды дифференцируемой ф-ии z=f(x,y) вторая частная производная δ2f/(δxδy), по определению есть смешанная производная
Если приращение функции u=f(x,y,z) представимо в виде ∆u=f’x∆x+f’y∆y+f’z∆z+ +o(√((∆x)2+(∆y)2+(∆z)2) то f(x,y,z) называется дифференцируемой в точке P(x,y,z).
Если функция δf(x,y)/δy имеет частную производную по x то эта производная называется смешанной и обозначается δf(x,y)/δyδx= f ’’yx(x,y)
Если приращение функции u=f(x,y) представимо в виде ∆u=f’x∆x+f’y∆y+ +o(√((∆x)2+(∆y)2 то f(x,y) называется дифференцируемой в точке P(x,y).
Для дважды дифференцируемой функции z=f(x,y) вторая частная производная δ2f/δyδx по определению есть смешанная производная 2го порядка.
Если функция δf(x,y)/δy имеет частную производную по y то эта производная называется частной производной второго порядка и обозначается δ2f(x,y)/δy2
Вопрос 6
если f’x(x0,y0)=f’y(x0,y0)=0 b A=f’’xx(x0,y0); B=f’’yy(x0,y0); C=f’’xy(x0,y0) то точка P0(x0,y0) есть точка максимума при АВ-С2>0 и A<0
по определению частным дифференциалом dxz по х ф-ии z=f(x,y) наз-ся dxz=∂z/∂x dx
если w=f(u,v,z), причем u=φ(x,y), v=ψ(x,y),z=g(x,y), то ∂z/∂y= δw/δu*δu/δy+δw/δv*δv/δy+δw/δg*δg/δy
если даны: z=f(x,y); u=φ(x,y);v=ψ(x,y) то частная производная δz/δy=δz/δu*δu/y+δz/δv*δv/δy
если w=f(u,v,z) дифференцируемая функция переменных u,v,z, причем v=Ψ(x,y), z=g(x,y) дифференцируемые функции независимых переменных x и у, то частная производная δw/δx вычисляется по формулеδw/δx=δw/δu*δu/δx+δw/δv*δv/δx+δw/δg*δg/δx
Если z=f(x,y) дифференцируемая функция переменных x и y причем y=β(x) дифференцируемая сложная функция независимой переменной Х то производная сложной функции z=f(x,β(x)) считается по формуле δz/δx=δzδx+δz/δy*dy/dx
Если z=f(x,y) дифференцируемая функция переменных x и y причем x=γ(t), y=β(t) дифференцируемые функции независимой переменной t то производная сложной функции z=(γ(t) β(t)) вычисляется по формуле δz/δt=δz/δγ*δγ/δt+δz/δβ*δβ/δt
Если z=f(x,y) дифференцируемая функция переменных x и y причем x=γ(t), дифференцируемые функции независимой переменной y то производная сложной функции z=(γ(t) β(t)) вычисляется по формуле δz/δy=δzδγ+δz/δy*δβ/δy
Если u=f(x,y,z) дифференцируемая функция переменных x и y причем y=γ(t), z=β(t) дифференцируемые функции независимой переменной x то производная сложной функции u=(x, γ(t), β(t)) вычисляется по формуле δu/δx=δu/δx+δu/δy*dy/dx+δu/δz*dz/dx
z=f(u,v), u=γ(x,y), v=β(x,y) δz/δx=δz/δu*δu/δx+δz/δv*δv/δx