Вопрос 3 - Начальная критическая нагрузка
По определению, начальная критическая нагрузка соответствует случаю, когда в основании под подошвой фундамента в единственной точке под гранью фундамента возникает предельное состояние.
Для нахождения величины р нач. крит. в случае плоской задачи пользуются расчетной схемой рисунка 6. При этом необходимо иметь ввиду, что в случае центрально-нагруженного фундамента распределение контактных напряжений может быть принято по закону прямоугольника. Расчетная схема такой задачи приведена на рисунке 19.
Рисунок 19 – Расчетная схема для определения
начальной критической нагрузки
В основании выбирают некоторую точку М. В этой точке определяют контактное напряжение р, при котором в этой точке возникнет предельное напряженное состояние. Полное напряжение в точке М - сумма напряжений от собственного веса грунта, лежащего выше этой точки, и от местной дополнительной нагрузки интенсивностью р – q.
Вертикальное сжимающее напряжение от собственного веса грунта в точке М будет максимальным главным напряжением и при различных удельных весах грунта засыпки выше подошвы фундамента γ' и ниже этого уровня γ запишется в виде уравнения (5.5):
σ l g = q + γ z = γ' d + γ z, (5.5)
Горизонтальное сжимающее напряжение будет минимальным главным напряжением; его можно выразить через коэффициент бокового давления грунта (5.6):
σ 3 g = ξ σ l g , (5.6)
Примем для упрощения гидростатический закон распределения напряжений от собственного веса грунта, то есть при ξ = 1. Тогда:
σ 3 g = σ l g = γ' d + γ z, (5.7)
Максимальное и минимальное главные напряжения в точке М от местной полосовой нагрузки интенсивностью можно записать в соответствии с формулами (4.9) и (4.10) в виде уравнений (5.8) и (5.9):
σ 1, p - q = (p - γ' d) / π (α + sin α) ; (5.8)
σ 3, p - q = (p - γ' d) / π (α - sin α), (5.9)
где α - угол видимости (Рисунок 19).
Таким образом, в модели линейно деформируемой среды полные напряжения в точке М определяют по формулам (5.10) и (5.11):
σ 1 = σ 1, p - q + σ l g = (p - γ' d) / π (α + sin α) + γ' d + γ z , (5.8)
σ 3 = σ 3, p - q + σ 3 g = (p - γ' d) / π (α - sin α) + γ' d + γ z, (5.9)
Предельное напряженное состояние в точке М реализуется при соблюдении условия (5.3). Подставив выражения (5.8) и (5.9) в формулу (5.3), получим выражение (5.10):
[(p - γ' d) / π] sin α - sin φ {[(p - γ' d) / π] α + γ' d + γ z} = c cos φ , (5.10)
Выражение (5.10) можно рассматривать как уравнение границы области, проходящей через точку М, на контуре которой при действии под подошвой фундамента напряжения р имеет место состояние предельного равновесия.
Координаты точек этой границы определяются неизвестными z и α. Решая уравнение (5.10) относительно z, получим выражение (5.11):
z = [(p - γ' d) / π γ] [(sin α / sin φ) - α] - γ' d / γ – c/ (γ . ctg φ), (5.11)
Это уравнение при заданном значении р в явном виде определяет ординату границы области предельного равновесия z при произвольных значениях угла видимости α. Максимальную глубину границы этой области z мах можно найти, взяв производную dz / dα и приравняв ее нулю:
dz / dα = [(p - γ' d) / π γ] [(cos α / sin φ) - 1] = 0 , (5.12)
Из уравнения (5.12) следует, что при z = z мах :
cos α = sin φ, то есть α = π/2 – φ и sin α = cos φ, (5.13)
Тогда, подставив выражение (5.13), получим для z мах выражение вида (5.14):
z мах = [(p - γ' d) / π γ] [(ctg φ + φ – π/2) - γ' d / γ – c/ (γ . ctg φ), (5.14)
Решая уравнение (5.14) относительно р, найдем такое значение критического напряжения под подошвой фундамента, при котором область предельного равновесия развивается на заданную максимальную глубину (5.15) z мах :
р кр = [π(γ z мах + γ' d + c . ctg φ)] / (ctg φ + φ – π/2) + γ' d, (5.15)
Из определения понятия р нач. крит. в формуле (5.15)вначале следует принять z мах = 0. Тогда в единственной точке основания под гранью фундамента будет выполняться условие предельного равновесия. При этом окончательно имеем формулу Пузыревского (5.16):
р нач. крит. = [π(γ' d + c . ctg φ)] / (ctg φ + φ – π/2) + γ' d, (5.16)
Выражение (5.16) без учета сцепления грунта было впервые получено Н.П. Пузыревским, поэтому его часто называют формулой Пузыревского.
Для идеально связных грунтов (φ = 0; с > 0) к которым относят слабые глинистые грунты (илы), глинистые грунты в состоянии незавершенной консолидации и в некоторых случаях мерзлые глинистые грунты, приняв в формуле (5.16) φ = 0, получим (5.17):
р нач. крит. = π c + γ' d, (5.17)
Фундамент, запроектированный так, что напряжение под его подошвой не превышает начальной критической нагрузки, будет находиться в совершенно безопасном состоянии. Однако, как показывает практика, грунты основания при этом будут обладать резервом несущей способности.