Вопрос 2 – Определение напряжений по методу угловых точек.

По формуле (3.9) можно легко найти вертикальное напряжение σ _z под угловыми точками. Однако, согласно работам Н.А. Цытовича и К.Е.Егорова, этим выражением можно воспользоваться для определения вертикального напряжения σ _z в любой точке полупространства.

Действительно, если проекция рассматриваемой точки М' на горизонтальную поверхность полупространства (точка М) располагается в пределах площади загружения (Рисунок 13, а), то эту площадь можно разбить на четыре прямоугольника (I – Мeaf, II – Mfbg, III – Mgch, IV - Mhde) таким образом, чтобы точка М являлась угловой точкой каждого из них. Тогда напряжение σ _z найдем суммированием напряжений под угловыми точками четырех площадей загружения:

σ _z = σ _zI + σ _zII + σ _{z III} + σ _zIV = 0,25 (α_I + α_II + α _III + α _IV ) p , (4.6)

где α_I , α_II , α _III , α _IV – коэффициенты, принимаемые по таблице 3.1 в зависимости от отношения сторон площадей загружения I, II, III, IV и отношения z (глубины расположения точки М') к ширине каждой из этих площадей.

Рисунок 13 – Схемы к расчету напряжений в точке М

при различном ее расположении

Когда проекция точки М' на горизонтальную поверхность полупространства (точка М) располагается вне пределов площади загружения (Рисунок 13, б), точку М аналогично можно представить как угловую точку фиктивных площадей загружения I, II, III, IV (Мeaf, Mfbg, Mgch, Mhde). При этом в пределах площадей II и IV фиктивная нагрузка прикладывается в обратном направлении. Напряжения определяют из выражения (4.7):

σ _z = σ _zI - σ _zII + σ _{z III} - σ _zIV = 0,25 (α_I - α_II + α _III - α _IV ) p , (4.7)

В случае расположения точки М' так, как показано на рисунке 13, в, ее проекцию на горизонтальную поверхность полупространства (точку М) можно представить как угловую точку фиктивных площадей загружения Мhae (I), Mgbe (II), Mhdf (III), Mgcf (IV) , и тогда:

σ _z = 0,25 (α_I - α_II - α _III + α _IV ) p , (4.8)

Таким образом, пользуясь методом угловых точек, можно найти напряжение σ _z в любой точке полупространства, к поверхности которого приложена равномерно распределенная нагрузка в пределах прямоугольной площади.

Вопрос 3 – Действие равномерно распределенной полосовой нагрузки (плоская задача)

По мере увеличения отношения длины площади загружения l к ее ширине задача по определению напряжений все с большим основанием может рассматриваться как плоская (плоская деформация). При бесконечной длине полосы нагрузки l в каждом сечении, перпендикулярном ее продольной оси, будет одинаковая картина напряжений. Обычно рассматривают плоскую задачу, когда l : b ≥ 10. В таком случае определяют три составляющих: нормальные напряжения σ _z , σ _у и касательные напряжения τ _yz . Указанные выше сечения остаются в процессе деформации плоскими (плоская деформация), и, следовательно, τ _ху = τ _хz = 0, а является функцией σ _z и σ _у .

Если во всех точках перпендикулярного продольной оси нагрузки сечения изотропного тела определить σ _z , σ _у и τ _yz соединить точки с одинаковыми значениями каждой из этих величин линиями равных напряжений, то получим своеобразные графики (Рисунок 14). Эти графики показывают, что нормальные напряжения σ _z распространяются на значительную глубину (цифры на линиях указывают долю от нагрузки р), а нормальные напряжения σ_у и касательные напряжения τ _уz – в пределах полутора-двух ширин полосы загружения. По этим графикам, применяя интерполяцию, можно найти значения σ _z , σ _у и τ _yz в любой точке.

Эпюры напряжений (давлений) σ_z по вертикальным и горизонтальным сечениям при разных значениях y и z представлены на рисунке 15. Из рисунка видно, что в вертикальных сечениях напряжения (давления) σ_z с глубиной убывают, а в горизонтальных сечениях напряжения (давления) σ_z будут максимальными по оси полосовой нагрузки. Это свидетельствует о том, что напряжения (давления) с глубиной рассеиваются на все большую площадь.

Рисунок 14 – Линии равных напряжений (изобары) σ_z (а), σ _у (б) и τ _yz (в)

при действии равномерно распределенной полосовой нагрузки

Рисунок 15 – Эпюры давлений по горизонтальным

и вертикальным сечениям

Плоское напряженное состояние изотропного тела может быть охарактеризовано главными напряжениями и их направлением.

Рисунок 16 - Схема для расчета напряжений в случае плоской задачи (а);

расположение эллипсов напряжений в основании

при действии полосовой нагрузки (б)

Главные напряжения в любой точке полуплоскости могут быть найдены по выражениям (4.9) и (4.10):

σ ₁ = (α + sin α) p / π ; (4.9)

σ ₃ = (α - sin α) p / π , (4.10)

где α – угол видимости полосы загружения в радианах (Рисунок 16).

Наибольшее главное напряжение σ ₁ направлено по биссектрисе угла видимости α. Это дает возможность легко построить эллипсы напряжений (Рисунок 16).

Лекция № 5