3.3. Применение дифференциального и интегрального исчисления при построении оптимизационных аналитических моделей

Вычисление средних расстояний и их использование при обосновании проектов землеустройства. Чтобы вывести формулу для среднего расстояния перевозок, разделим землевладение сельскохозяйственного предприятия на элементарные участки площадью , …, . Обозначим объемы (плотность) перевозимых грузов через , , …, , а расстояния от хозяйственного центра до каждого участка — , …, . + +…+

Тогда среднее расстояние (S) от хозяйственного центра до землевладения будет равно:

. (3.5)

Если допустить, что объем (плотность) перевозимых грузов является постоянной, то есть = =…= , это выражение упрощается:

, (3.6)

где Р – площадь землевладения хозяйства.

Эта формула при указанных допущениях в землеустроительной науке стала классической для определения математического среднего расстояния от хозяйственного центра, имеющего разное местоположение на территории, до землевладения, имеющего произвольную геометрическую форму и площадь.

Впервые наиболее полно формулы для расчета среднего расстояния были обоснованы К. Н. Сазоновым.

Произведение площади участка на расстояние выражает объем транспортных работ (при плотности δ=1); чтобы определить общий объем, необходимо найти сумму таких произведений для всей площади участка, исходя из предположения, что число частиц неограниченно увеличивается, а площади их неограниченно убывают и становятся бесконечно малыми величинами. Такая задача, как известно, сводится к двойному интегрированию в определенных пределах выражения, представляющего произведение элементарной площади на расстояние ее до хозяйственного центра; необходимые при этом пределы интегрирования по обеим переменным определяются в зависимости от фигуры участка. Разделив результат интегрирования на общую площадь участка, получаем формулу математического среднего расстояния для данной фигуры и заданного внутри или вне ее положения хозяйственного центра.

Рассмотрим вывод формулы математического среднего расстояния для кругового кольца с местонахождением хозяйственного центра в общем центре кругов (рис. 3.1).

Рисунок 3.1 – Схема вывода формулы среднего расстояния для землевладения, имеющего форму кольца

Пользуясь выражением для площади кольца, окончательно получаем

(3.7)

Если площадь, на которую распространяется работа по перевозкам, будет представлять весь круг с таким радиусом R, а не только кольцо между окружностями с радиусами a и R, то достаточно положить в формуле (2.7) a=0, после чего получаем

(3.8)

где S – математическое среднее расстояние, R – радиус круга.

Определим, чему равно математическое среднее расстояние S, если площадь землевладения будет представлять собой круг с радиусом R, а хозяйственный центр (усадьба) будет расположен в его центре. В этом случае

. (3.9)

Здесь – коэффициент, учитывающий форму землевладения и местонахождение на нем хозяйственного центра.

Для круга с усадьбой в центре

. (3.10)

Используя данные закономерности, К. Н. Сазонов впервые в землеустроительной науке построил таблицу для определения значений коэффициента (табл. 3.3).

Таблица 3.3 – Коэффициенты формул, связывающих математическое среднее расстояние и площадь землевладения

№ п/п	Вид фигуры	Положение хозяйственного центра	Отношение периметра фигуры к корню квадратному от площади	Коэффициенты связи
				среднего расстояния и площади	площади и среднего расстояния
1	Круг	Центр круга	3,545	0,376	7,07
2	Круг	На середине радиуса	3,545	0,445	5,05
3	Круг	На окружности	3,545	0,667	2,25
4	Правильный шестиугольник	Центр тяжести	3,722	0,377	7,04
5	Правильный шестиугольник	На середине радиуса	3,722	0,461	4,71
6	Правильный шестиугольник	Вершина	3,722	0,687	2,12
7	Квадрат	Центр тяжести	4,0	0,383	6,82
8	Квадрат	На середине полу- диагонали	4,0	0,489	4,18
9	Квадрат	Вершина	4,0	0,765	1,71

Для перехода от математических средних расстояний (по прямой) к реальным расстояниям (с учетом кривизны дорог) землеустроители стали применять следующую формулу:

, (3.11)

где — коэффициент, учитывающий реальное размещение и кривизну дорог.

Для практических целей В. Я. Заплетин рекомендовал использовать в условиях Центрально-Черноземной зоны значение = 1,3 –1,5.

Контрольные вопросы

1. Аналитические модели и их свойства

2. Оценка точности вычислений с использованием аналитических моделей

4. ЭKOHOMИKO - CTATИCTИЧECKOE