3. Классификация математических моделей

Классификация математических моделей, применяемых в землеустройстве, приведена в таблице 3.1.

Таблица 3.1 – Классификация математических моделей, применяемых в землеустройстве

Классификационный признак	Вид модели
Вид проектной документации	Графические Экономические
Степень определенности информации	Детерминистические Стохастические
Вид землеустройства	Межотраслевые Межхозяйственные Внутрихозяйственные Рабочие проекты
Математические методы	Аналитические Экономико-статические Оптимизационные Балансовые Сетевого планирования и управления

Модель в переводе с латинского языка означает образец, норма, мера. Наиболее известны три типа моделей:

• геометрическая (объект геометрии подобный оригиналу);

• физическая (подобие не только формы и пропорций, но и физических процессов);

• математическая (абстрактные описания объектов, явлений или процессов).

3.1 Аналитическое моделирование в землеустройстве

Аналитические модели представляют собой определенные функции, выражающие взаимосвязь мeжду несколькими признаками (показателями).

B основу их построения заложено два принципа:

• функциональный характер, то есть задание в виде формулы, графика, тaблицы или другого способа, в котором каждому значению фактора (независимой переменной) соответствует строго определенное значение результативного показателя;

• детерминированность (отсутствуют случайные (вероятностные) воздействий на эти переменные).

В землеустройство первые аналитические модели пришли из геодезии.

При проектировании они использовались для расчета различных технических показателей:

• площадей земельных участков различной конфигурации (севооборотов, полей, загонов очередного cтpaвливaния, рабочих участков, землевладений и землепользований и т. д.);

• средних расстояний от хозяйственных центров до угодий;

• уклонов местности;

• коэффициентов компактности землепользований, дальноземелья, вытянутости, защищенности полей лесополосами и дp.

Аналитические модели в землеустройстве основаны на применении классических математических методов: геометрии, тригонометрии, алгебры, дифференциального и интегрального исчислений и т. д.

Для их построения могут применяться как уже известные, так и новые теоремы и формулы. B моделях используются различные математические величины: средние взвешенные, средние геометрические, средние арифметические и т. д.

3.2 Оценка точности с использованием аналитических моделей

В вычислениях, связанных с землеустроительным проектированием, приходится встречаться с четырьмя видами величин.

1. Полученные путем измерений или представляющие собой функцию непосредственных измерений. Такие величины заключают в себе ошибки, зависящие от точности инструментов или приборов измерения, внешних условий, в которых измерения производятся, способов измерения и личных качеств инженера-землеустроителя. Истинные значения измеряемых величин остаются неизвестными. С помощью уравнительных вычислений по­лучаются (или могут получаться) их наиболее вероятные значе­ния, имеющие определенные средние квадратические или пре­дельные ошибки. Таким образом, эти значения являются приближенной оценкой измеренных величин.

2. Точные (или условно точные). К ним относятся различные постоянные (рациональные константы), а также наперед задаваемые значения какой-либо величины (например, отделяемая часть площади, расстояние между данной прямой и отыскивае­мой прямой, параллельной первой, число разверсточных единиц и т. п.).

3. Округленные величины. Прежде всего это иррациональ­ные константы (например, число π), при вычислениях округля­емые до определенного десятичного знака; ошибка округления в данном случае может быть учтена с любой мерой точности. Кроме того, при вычислениях приходится сталкиваться и с другими типами округленных чисел. Таковы все данные, получаемые из различных таблиц (приращений координат, натуральных значений тригонометрических величин и т. п.). В от­ношении этих последних истинная ошибка округления неизвестна; известна лишь предельная или средняя квадратическая ошибка.

4. Результаты непосредственных вычислений или постоянные величины, принимаемые в расчет при проектировании как условно точные, задаваемые с определенной степенью вероятнос­ти. К ним относятся показатели урожайности сельскохозяйственных культур и продуктивности животных на перспективу, данные по планируемой структуре посевных площадей, рацио­нам кормления скота и т. п. Данные величины также являются, по существу, приближенными.

Таким образом, при проведении различных расчетов в землеустройстве, построении функциональных зависимостей и моделей постоянно приходится сталкиваться с приближенными зна­чениями тех или иных величин. Приближенными называют чис­ла, которые отличаются от точного значения на некую погреш­ность (ошибку), допустимую в соответствии с условиями данной задачи, и заменяют точные числа в расчетных формулах. При ра­боте с ними пользуются определенными правилами, так как ина­че эти погрешности могут существенно повлиять на результат и привести к неправильному решению.

При выполнении арифметических операций необходимо учитывать, что в сумме приближенных чисел верных десятичных знаков будет не больше, чем их имеется в слагаемом с наименьшим количеством десятичных знаков.

В произведении и частном значащих цифр будет не больше, чем их имеется в ком­поненте с наименьшим количеством значащих цифр.

Таким образом, при землеустроительных расчетах всегда возникает проблема оценки точности произведенных вычислений, то есть степени достоверности полученного результата, доверия к нему. Это трудная и мало разработанная проблема, особенно по отношению к экономико-математическим моделям, которые как по точности коэффициентов уравнений и неравенств, так и по своему составу лишь приближенно отражают действительные ус­ловия работы предприятий.

В землеустройстве этой проблемой занимались, прежде всего, специалисты по точности геодезических измерений и вычислительной технике. Они первыми применили технику оценки точности в геодезии к землеустроительным расчетам (А. В. Гордеев, Е. Г. Ларченко, Ю. В. Кемниц, М. И. Коробочкин, А. В. Маслов, А. К. Успенский, М. В. Андриишин, В. С. Бережнов, И. Ф. Полунин и др.).

Было установлено, что основными источниками ошибок являются:

• погрешности исходных данных (неустранимые погрешности, они не зави­сят от метода решения задачи);

• погрешности округления, возникающие (нарастающие) в процессе счета (для уменьшения их накопления, промежуточные результаты записывают с дополнительными знаками);

• погрешности, возникающие в результате неточности применяемых формул, методов и моделей.

При переводе чисел из одной системы счисления в другую также появляются дополнительные погрешности, которые относятся к неустранимым. Они должны быть меньше, чем погреш­ности исходных данных.

При землеустроительных расчетах, ввиду того что действия осуществляются с приближенными числами, необходимо учитывать два основных момента:

• точность, с которой можно получить значения искомых величин:

• точность, с которой необходимо знать эти значения.

В настоящее время разработаны правила вычислений с приближенными числами, применение которых существенно облег­чает решение землеустроительных задач. Например, пользуясь правилами значащих цифр, можно легко показать, что при вы­числении площадей землевладений по координатам вершин многоугольников отдельные произведения можно округлять до целых чисел.

Для того чтобы оценить точность искомых величин, необходимо хорошо разбираться в понятиях абсолютной и относитель­ной погрешности, их связи с количеством верных значащих цифр.

Абсолютная погрешность ( ) – это абсолютная величина разности между точным числом и его приближенным значением.

В связи с тем, что истинное значение величины в большинстве случаев неизвестно, неизвестна и истинная абсолютная по­грешность . Поэтому обычно пользуются предельной погреш­ностью, которую при округлении принимают равной по­ловине единицы последнего десятичного знака: 5 единицы последнего знака. Например, округлен­ные числа 41 и 2,5 имеют значение, равное соответственно 0,5 и 0,05.

Относительная погрешность ε – это величина, характеризу­ющая отношение абсолютной погрешности ( ), к самому значе­нию числа а:

ε.= /а. (3.1)

В ряде случаев, когда значение абсолютной погрешности неизвестно (а, следовательно, нельзя вычислить и относительную), ее задают исходя из опыта, экспертных оценок или аналогичных расчетов.

Величина относительной погрешности связана с количеством значащих цифр, заслуживающих доверия. Это, по определению Е. Г. Ларченко, все цифры приближенного числа, начиная слева от первой, отличной от нуля, и направо до цифры, имеющей погрешность не больше единицы.

Пример вычисления погрешности при разном количестве значащих цифр приведен в таблице 3.2. Из нее видно, что чем меньше значащих цифр, тем больше относительная погрешность.

Таблица 3.2 –Погрешность записи приближенных чисел в зависимости от числа значащих цифр

Значение приближенного числа	Количество значащих цифр	Значение погрешности
		абсолютной	Относительной
			в процентах	в долях единицы
0,00408	3	0,000005	0,1225	1:816
5,850	4	0,005	0,0085	1:1176
350,26	5	0,0005	0,0014	1:71429
4,07602	6	0,000005	0,0001	1:1000000

Числа всегда следует записывать, исходя из правил определения значащих цифр. Например, площадь земельного участка, вычисленная с точностью до 0,1 га, должна записываться не 100,12, а – 100,1 га.

Если же угол в 60^° измерен с точностью до ми­нуты, то он

должен быть записан в виде 60°00'.

При оценке точности результатов вычислений с приближенными числами, а также при определении точности любых функ­ций используют методы дифференциального исчисления.

Для функции общего вида y= f(x) имеем соотношение

Δ y= f(x) Δx, (3.2)

Разделив на у, получаем относительную погрешность функции:

ε.= Δ y/ Δx, (3.3)

На основе данных рекомендаций в МИИЗ Е. Г. Ларченко, М.И. Коробочкиным, В. С. Бережновым и другими учеными были даны предложения по проведению арифметических операций с приближенными числами. Суть их сводится к следующему.

При сложении и вычитании приближенных чисел:

• выбирают компонент (слагаемое, вычитаемое или уменьшаемое) с наименьшим количеством десятичных знаков;

• остальные компоненты округляют, оставив в них на один-два знака больше, чем их имеется в компоненте с наименьшим количеством десятичных знаков;

• выполняют арифметические операции (сложение или вычитание);

• полученный результат округляют, оставив в нем столько десятичных знаков, сколько имеется в компоненте с наименьшим их количеством.

При умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня:

• выбирают компонент с наименьшим количеством значащих цифр;

• все остальные округляют, оставив в них на одну-две значащие цифры больше, чем их имеется в компоненте с наименьшим количеством значащих цифр;

• производят соответствующие операции;

• полученный результат округляют до стольких значащих цифр, сколько их имеется в наименее точном компоненте.

Рассмотрим, чем объясняются данные правила, на примере оценки точности суммы приближенных чисел:

Во многих случаях перед землеустроителями стоит обратная задача: как по заданной погрешности функции определить абсолютные и относительные погрешности аргументов?

Примени­тельно к приведенному выше примеру это означает: с какой точ­ностью должны быть вычислены значения площадей отдельных участков, если общую площадь землепользования требуется знать, например, с округлением до 0,1 га?

Однако в действительности данная задача (так называемая обратная задача теории погрешностей) гораздо сложнее. Поскольку здесь имеются всего одно уравнение и несколько неизвестных погрешностей аргументов, она может быть решена только при некоторых дополнительных допущениях или условиях. В земле­устроительных задачах за такое условие часто принимают «прин­цип равных влияний», то есть считают, что все частные прира­щения одинаково влияют на предельную абсолютную или относительную погрешность функции.

Например, требуется определить, с какой точностью надо измерить длину и ширину приусадебного участка для ведения лич­ного подсобного хозяйства, имеющего форму прямоугольника, чтобы в свидетельство на право собственности на землю была записана площадь, имеющая абсолютную погрешность не более 0,01 га.

Примерная длина участка равняется 100 м (а = 100), а ширина — 50 м (b = 50).

Дифференцируем функцию площади Р по а и b, получим

(3.4)

Таким образом, чтобы знать площадь приусадебного участка с точностью до 0,01 га, его длину и ширину достаточно измерить с точностью соответственно 1,0 и 0,5 м, которые определены исходя из принципа равного влияния.

Такое измерение индивидуальных участков можно произвести по крупномасштабным фо­топланам.