Вопрос 3. Средняя гармоническая и другие виды средних величин.

Средняя гармоническая – это просто преобразованный вид средней арифметической. Средняя гармоническая используется в том случае, если веса в явном виде не представлены.

Мы знаем, что . Может быть, что значения x_if_i для всех i даны: z_i=x_if_i, а значений самих весов нет. Тогда:

.

Это формула средней гармонической взвешенной.

Если все веса одинаковы ( ), то получается средняя гармоническая взвешенная:

Пример. В одном цехе фонд заработной платы составляет 10 млн. руб., во втором – 20 млн. руб. Средняя заработная плата в первом цехе – 4000 руб., во втором – 2 500 руб. Найти среднюю заработную плату на предприятии.

.

Средняя квадратическая вычисляется так:

Это средняя квадратическая взвешенная.

Средняя квадратическая невзвешенная – это:

Средняя квадратическая используется для осреднения квадратных величин (диаметр, площадь), а также при расчете показателей вариации.

Средняя геометрическая:

Средняя геометрическая используется для расчета средних темпов роста.

Вопрос 4. Структурная средняя: медиана, мода, децили, квартили.

Кроме обобщающих характеристик, есть показатели, которые учитывают отдельные стороны совокупности. Это структурные средние. Они характеризуют структуру вариационных рядов.

Структурных средних – море, но мы должны знать четыре:

• медиана

• мода

• децили

• квартили

Медиана – значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда.

Например. МЫ имеем дискретный вариационный ряд: распределение работников предприятия по тарифной ставке:

Тариф	Количество работников, чел.
2	200
3	350
4	250
5	450
6	50

Мы вычисляем сумму частот и смотрим, на какой вариант приходится середина. Сумма частот – 1000. Полусумма 500 приходится на тарифную ставку 3.

Точно определяется медиана в интервальном вариационном ряду. Это происходит по следующей формуле:

x₀ – нижняя граница медианного интервала,

h – величина медианного интервала,

– полусумма частот

S_m-I – сумма частот, накопленных до медианного интервала

f_m – частота медианного интервала.

Медианный интервал – это тот, на который приходится полусумма частот.

Квартили делят ранжированный ряд на 4 части. Квартилей три штуки. Второй квартиль, что очевидно, совпадает с медианой.

25% 50% 75%

Формула для расчета первого квартиля в интервальном вариационном ряду:

Децили делят ранжированный ряд на 10 частей. Соответственно их 9. 5-ый дециль совпадает с медианой. Формула для расчета первого дециля интервального вариационного ряда:

Кстати, квантили делят ряд на 5 частей.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака. Для дискретного вариационного ряда мода – это вариант, имеющий наибольшую частоту.

Наиболее точно мода определяется для интервального вариационного ряда:

.