Тема 6. Средние величины.

Вопросы:

1. Сущность и значение средних величин.

2. Средняя арифметическая и ее свойства.

3. Средняя гармоническая и другие виды средних величин.

4. Структурная средняя: медиана, мода, децили, квартили.

Вопрос 1. Сущность и значение средних величин.

Статистика изучает варьирующиеся признаки.

Возьмем, к примеру, заработную плату работников промышленности города Омска. Для совокупности работников промышленности г. Омска существует определенный общий уровень зарплаты, который отличается от общего уровня заработной платы работников промышленности, например, Новосибирска.

Для характеристики совокупности с точки зрения общего уровня варьирующегося признака в статистике используются средние величины.

Средняя величина в статистике – это показатель, который дает обобщенную характеристику признака в расчете на единицу однородной совокупности.

Размеры признаков для отдельных единиц совокупности определяются многими факторами. Одни факторы являются общими для всех единиц совокупности, другие – нет. Средние величины отражают то общее, что присуще всем единицам совокупности.

Обычно средние рассчитываются по совокупности достаточно большого размера, когда начинает действовать закон больших чисел. Поскольку при этом случайные отклонения погашаются, то средние величины обладают большой устойчивостью.

Средние величины можно использовать для выявления закономерностей, присущих совокупности.

Т. к. средние величины не несут влияние случайных факторов, их можно использовать для сравнения совокупностей.

Для того чтобы правильно использовать средние, нужно знать принципы, в соответствии с которыми их надо использовать (!!!):

1. должна быть качественно однородная совокупность, по которой высчитывается средняя

2. средняя должна быть рассчитана по достаточно большому числу единиц совокупности

Если эти принципы не использовать, то получится фиктивная средняя.

Прикольные примеры фиктивной средней:

1. Средняя температура больных в палате была ниже 37˚.

2. В среднем в реке корове было по колено, тем не менее она захлебнулась и утонула.

В ряде случаев прежде, чем считать среднюю, разумно выделить в совокупности группы и уже по ним считать среднюю.

Вопрос 2. Средняя арифметическая и ее свойства.

Вообще в статистике используются несколько десятков средних величин. Самая ходовая – это средняя арифметическая, поскольку она проще других.

Средняя арифметическая бывает:

• простая

• взвешенная.

Простая средняя арифметическая используется, когда есть данные о каждой единице совокупности. Рассчитывается она так:

В ряде случаев отдельные значения признака могут встречаться несколько раз. Например,

Зарплата, руб.	Число работников
2000	3
4000	5
6000	2

Тогда применяется взвешенная средняя арифметическая. Мы получаем сумму по совокупности и делим на сумму частот:

b

Таким образом, средняя арифметическая взвешенная вычисляется так:

где f_i – i-ая частота.

Что же использовать в качестве весов? Ответ на этот вопрос дает следующий принцип: при расчете средней арифметической в качестве весов нужно принимать показатели, которые стоят в знаменателе отношения, на основе которого рассчитывается средняя.

Иногда даны не дискретные данные, т.е. интервальные. Напрмер:

з/п, руб.	менее 2000	2000-4000	4000-6000	6000-8000	8000 и более
число работников	10	20	30	30	10

Как же рассчитать среднюю арифметическую в этом случае? А вот как. Находятся середины интервалов (x’). Если интервал открытый, то принимаем, что величина интервала такая же, как и у последующего (предыдущего).

з/п, руб.	менее 2000	2000-4000	4000-6000	6000-8000	8000 и более
число работников	10	20	30	30	10
x’	1000	3000	5000	7000	9000

Здесь мы делаем допущение, что внутри интервала единицы распределены равномерно.

Свойства средней арифметической:

1. Алгебраическая сумма отклонений отдельных вариантов осредняемого признака от средней равны нулю.

Доказательство.

Доказательство кончилось.

2. Если все варианты признака уменьшить или увеличить на одно и то же число, то средняя арифметическая изменится на то же число.

Доказательство.

Доказательство кончилось.

3. Если все варианты мы увеличим (уменьшим) в k раз, то средняя арифметическая тоже увеличится (уменьшится) в k раз.

Доказательство.

Доказательство кончилось.

4. Если все веса мы изменим в определенное число раз, то среднее арифметическое не изменится.

Доказательство.

. (*)

Доказательство кончилось.

Из этого свойства следует, что величина средней зависит не от абсолютного значения весов, а от соотношения между ними. Поэтому абсолютные значения весов можно заменить процентами или долями.

Так, если в формуле (*) положить , т.е. заменить k долей d_i данного веса в общей сумме весов, то получаем:

, поскольку сумма долей .

Имеет место парадокс равнения средних (абсолютно недоступный физикам-менеджерам). Рассмотрим его на примере. Снижение заработной платы у всех работников предприятия может сопровождаться повышением средней зарплаты.

Например, на предприятии работают две категории работников. Первая категория составляет 50% от числа работников предприятия. Рабочие первой категории получают зарплату 2000 руб. Вторая категория – 50% – получает 4000 руб. Средняя заработная плата составляет 2000*0,5+4000*0,5=3000 (руб.). После кадровых изменений первая категория стала составлять 20%, а вторая – 80% от числа работников предприятия. При этом заработная плата работников первой категории снизилась до 1500 руб., а у работников второй категории – до 3500 руб. Средняя зарплата составила 1500*0,2+3500*0,8=3100 (руб.).

Свойства средней можно использовать для упрощенного расчета.

Посчитаем среднюю зарплату работников предприятия на вышеуказанном примере.

з/п, руб.	менее 2000	2000-4000	4000-6000	6000-8000	8000 и более
число работников	10	20	30	30	10
x’	1000	3000	5000	7000	9000

Для упрощения расчета из величин x’ вычтем a=5000, а затем уменьшим x’-a на 2000. Тогда значение средней арифметической сократится на 5000 и уменьшится в 2000 раз. Значения же весов (число работников) уменьшим в 10 раз, значение средней при этом не изменится.

з/п, руб.	менее 2000	2000-4000	4000-6000	6000-8000	8000 и более
число работн.(f)	10	20	30	30	10
x’	1000	3000	5000	7000	9000
x’-a	-4000	-2000	0	2000	4000
	-2	-1	0	1	2
f/10	1	2	3	3	1

По упрощенным данным рассчитаем среднюю:

.

Для того, чтобы получить искомую величину , умножим 0,1 на 2000 и прибавим 5000, т.е. .

Всё это называется расчет по способу моментов. Условный момент первого порядка: