5.Векторное поле
5.1.Поток векторного поля
Пусть каждой точке М(x,y,z) некоторой области пространства соответствует вектор а(М). В этом случае говорят, что в этой области пространства задано векторное поле (или вектор-функция точки).
Поверхностный интеграл I рода по поверхности S от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности называют потоком поля через поверхность.
Таким
образом, поток К векторного поля а
через поверхность S
вычисляется по формуле: К =
.
Заметим, что подынтегральная функция
равна проекции вектора поля на единичный
вектор нормали к поверхности. Используя
связь поверхностных интегралов I
и II рода, поток можно
записать в виде: К =
,
где P, Q, R
– проекции вектора поля на координатные
оси.
Пример. Найдем поток векторного поля a=zi–xj+yk через верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоскости 3х+6у–2z–6=0 с координатными плоскостями.
К
=
=
.
Для
данной плоскости орт нормали n
= (
;
;
–
).
Так как на верхней стороне плоскости
он образует с осью Oz
острый угол, то выбираем n
= (–
;–
;
).
Тогда два первые слагаемые нужно брать
с минусом, а последнее – с плюсом.
Окончательно получаем:
К
=
,
где области интегрирования – проекции
треугольника на соответствующие
координатные плоскости.
;
;
.
Итак,
К =
+
2 +
=
.
5.2. Дивергенция векторного поля
Пусть
каждой точке М(x,y,z)
некоторой области пространства
соответствует вектор а(М)={P(x,y,z);Q(x,y,z);
R(x,y,z)}.
Дивергенцией такого векторного
поля в точке М называется число diva(M)
=
.
Используя
понятие дивергенции, можно переписать
формулу Остроградского-Гаусса в векторной
форме:
=
,
– поток векторного поля через замкнутую
поверхность в направлении «изнутри»
равен интегралу дивергенции этого поля
по объему, ограниченному данной
поверхностью.
5.3. Циркуляция векторного поля
Пусть
каждой точке М(x,y,z)
некоторой области пространства
соответствует вектор а(М)={P(x,y,z);Q(x,y,z);
R(x,y,z)}.
Выберем в этой области гладкую замкнутую
кривую L. Циркуляцией
векторного поля вдоль контура L
называется число C=
.
Пример. Вычислим циркуляцию векторного поля a=(x–2z)i+(x+3y+z)j+(5x+y)k вдоль контура треугольника с вершинами А(1;0;1), В(0;1;0) и С(0;0;1).
C= =
=
+
+
.
На отрезке АВ х+у=1, z=0, поэтому
=
.
Аналогично
=
–
и
=
–3. Отсюда С = –3.
5.4. Ротор векторного поля
Пусть
каждой точке М(x,y,z)
некоторой области пространства
соответствует вектор а(М)={P(x,y,z);Q(x,y,z);
R(x,y,z)}.
Ротором векторного поля в точке М
называется вектор rota(M)
=
.
Удобно записывать ротор в виде
определителя:
rota(M)
=
.
Используя
понятия циркуляции и ротора, можно
переписать формулу Стокса в векторной
форме:
=
,
– поток ротора векторного поля через
поверхность равен циркуляции этого
поля вдоль контура, ограничивающего
данную поверхность. Контур обходится
при этом в положительном направлении.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М. Наука. 1969 г.
Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. М. Наука. 1973 г.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Части 1, 2. М. Высшая школа. 1981 г.
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. М. Высшая школа. 1983 г.
Св. план г., поз.
Арутюнян Елена Бабкеновна
Математика