2. Предел и непрерывность

Пусть Rⁿ: =(a₁, a₂, ..., a_n). Пусть >0. Множество всех таких точек Rⁿ, для которых  –  <, будем называть -окрестностью точки ; -окрестность точки без самой этой точки будем называть проколотой -окрестностью точки . Например, если n=2, то -окрестность точки – это открытый круг с центром и радиусом , а проколотая -окрестность точки – этот же круг без центра. Теперь понятия предела и непрерывности функции нескольких переменных можно определить так же, как для функции одной переменной.

Определение 1. Функция f нескольких переменных, определенная в некоторой проколотой окрестности точки , называется бесконечно малой при , стремящемся к (пишут:  ), если для любого положительного числа  существует такая проколотая окрестность точки , что при всех , принадлежащих этой окрестности, f( )<.

Свойства бесконечно малых функций нескольких переменных аналогичны свойствам бесконечно малых функций одной переменной. Попробуйте сформулировать их самостоятельно.

Определение 2. Число b называется пределом функции f( ) при  , если функция f( )–b является бесконечно малой при  . Обозначение: b = .

В частности, если функция f( ) – бесконечно малая при  , то =0.

Примеры. 1) Пусть f( )=С – постоянная функция. Тогда для любой точки функция f( )–С является бесконечно малой при  . Значит, =С.

2) Пусть f( )=х₁ – первая координата точки . Тогда для любой точки =(a₁, a₂, ..., a_n) функция f( )–а₁ является бесконечно малой при  .Значит, = a₁. 

Свойства предела функции нескольких переменных аналогичны свойствам предела функции одной переменной. Сформулируем их в виде теорем, которые примем без доказательства.

Теорема 1 (о единственности предела). Если

=b и =c, то c = b.

Теорема 2 (об ограниченности функции, имеющей предел). Если функция имеет предел при  , то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки .

Теорема 3 (о переходе к пределу в неравенстве). Если =b и =с, причем f( )g( ) в некоторой проколотой окрестности точки , то bс.

Следствие. Если =b, причем f( )0 в некоторой проколотой окрестности точки , то b0. Если =b, причем f( )0 в некоторой проколотой окрестности точки , то b0.

Теорема 4 (о промежуточной функции). Если =b и =b, причем f( )h( )g( ) в некоторой проколотой окрестности точки , то =b.

Теорема 5 (об арифметических операциях).

1) Если =b и =с, то = b+c.

2) Если =b и =с, то =bc.

Следствие. Если =b, то =Cb.

3) Если =b, причем b0, то = .

Следствие. Если =b и =с, причем c0, то = .

Примеры. Обозначим через .

1) = = 5.

2) = = . Мы воспользовались здесь эквивалентностями: ln(1+) и sin при 0.

3) Покажем, что не существует. Предположим сначала, что точка (x,y) приближается к точке (0;0) по прямой y=x. Тогда = = . Если же прямую y=x заменить прямой y = –x, то получим = = – . Поскольку не может иметь двух различных значений, то он не существует.

4) Для вычисления воспользуемся полярными координатами: пусть х=cos, y=sin. Тогда = = ²cos²sin²; 0²cos²sin²² при любом ; ²=0; значит, = 0.

Определение 3. Функция f( ), определенная в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в точке , если = f( ).

Перечислим свойства непрерывных функций нескольких переменных.

Теорема 6 (о локальной ограниченности). Если функция непрерывна в точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Теорема 7 (о сохранении знака). Если функция f( ) непрерывна в точке и f( )>0 (или f( )<0), то f( )>0 (соответственно f( )<0) в некоторой окрестности точки .

Теорема 8 (об арифметических операциях). Если функции f( ) и g( ) непрерывны в точке , то функции f( )+g( ) и f( )g( ) непрерывны в точке . Если, кроме того, g( )0, то и функция непрерывна в точке .

Теорема 9 (о непрерывности сложной функции двух переменных). Пусть функции u(x,y) и v(x,y) непрерывны в точке (х_о,у_о), а функция f(u,v) непрерывна в точке (u_o,v_o), где u_o=u(x_о,y_о), v_o=v(x_о,y_о). Тогда функция f(u(x,y),v(x,y)) непрерывна в точке (х_о,у_о).

Замечание 1. Рассмотрим функцию двух переменных f(x,y). Рассмотрим точки (x₀,y₀) и (x₀+x,y₀+y). Разность f(x₀+x,y₀+y)– f(x₀,y₀) обозначим f и будем называть приращением функции в точке (x₀,y₀). При фиксированной точке (x₀,y₀) приращение будет функцией от x и y (то есть от приращений аргументов). Из определения непрерывности следует, что функция f(x,y) непрерывна в точке (x₀,y₀) тогда и только тогда, когда в этой точке =0 (то есть приращение функции в этой точке является бесконечно малой при x0 и y0).

Пример. Пусть f(x,y)= . Тогда приращение функции в точке (0;0) имеет вид: f= . Как показано в примере выше, при x0 и y0 эта функция не имеет предела. Значит, функция f(x,y) не является непрерывной в точке (0;0).

Замечание 2. Кроме приращения f, для функции двух переменных рассматривают так называемые частные приращения по х и по у: _хf = f(x₀+x,y₀)–f(x₀,y₀) и _уf = f(x₀,y₀+y)– f(x₀,y₀). Первое из них является функцией только от x, а второе – только от y. Аналогично можно определить частные приращения и для функции любого числа переменных.