6.2. Содержание разделов дисциплины

ВВЕДЕНИЕ

Основополагающая идея численного решения физических (инженерных) задач. Основные этапы развития численного решения и прикладной математики в целом.

6.2.1. Прикладная математика для инженера.

Цели и задачи курса.

Проблемы изучения Математического моделирования в высшей технической школе. Цель курса как объем знаний и умений позволяющий плавный переход от классической математики к реальным инженерным расчетам, необходимым в дальнейшей практической работе выпускников данной специальности.

Элементы прикладного математического исследования. Математическая формулировка задачи.

Понятие математической модели. Требование адекватности в математической модели. Требование простоты и оптимальности в математической модели. Феноменологические законы в математической модели. Полуэмпирические законы в математической модели. Определяющие параметры и число степеней свободы в математической модели. Иерархия переменных в математической модели. Контроль в математической модели (контроль размерностей, контроль порядков, контроль характера закономерностей, контроль экстремальных ситуаций, контроль граничных условий, контроль математической замкнутости).

Выбор метода исследования.

Внешнее и внутреннее правдоподобие в математической модели. Прикидки в математической модели. Выбор точности метода решения в математической модели. Вариационные и экстремальные подходы. Дискретное и непрерывное математической модели. Устойчивость в математической модели. Поучительность примеров в математической модели. Вычислительная техника в математическом моделировании. Ошибки округления в математической модели. Волевые действия в математическом моделировании.

6.2.2. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (оду).

Постановки задач и методы решения ОДУ.

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Источники погрешностей и тепы ошибок численного решения. Постановка задачи и методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Начальная и краевая задачи. Численное решение задачи Коши.

Одношаговые методы решения задачи Коши.

Одношаговый метод Эйлера решения задачи Коши. Решение задачи растяжения стержня методом Эйлера. Модифицированный метод Эйлера. Решение задачи растяжения стержня модифицированным методом Эйлера. Методы Рунге-Кутты решения ОДУ и для решения системы ОДУ. Решение задачи кручения стержня методом Рунге-Кутты. Общая характеристика одношаговых методов.

Многошаговые методы решения задачи Коши.

Многошаговые методы решения задачи Коши. Общий алгоритм методов прогноза и коррекции. Метод Милна. Метод Хемминга. Метод Адамса-Бишфорта. Решение задачи сложного нагружения балки многошаговым методом. Общая характеристика многошаговых методов.

6.2.3. Основы метода конечных разностей.

Основы метода конечных разностей. Формула конечной записи производной первого порядка. Формула конечной записи для производной второго и более высоких порядков. Общая схема решения краевой задачи методом конечных разностей. Решение краевой задачи методом конечных разностей на примере задачи растянуто-изогнутого стержня на двух опорах. Матричная форма записи конечно-разностных соотношений. Решение задачи растяжения пластины в матричной постановке метода конечных разностей.