Системный анализ в управлении - Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. (под ред. Емельянова А.А

Математический инструментарий в управлении проектами 321

С помощью теоремы о свертке после соответствующих пре­ образований можно получить следующее выражение;

Окончательно из (5.2) и (5.3) получим основную формулу, определяющую передаточную функцию W{z) системы:

Передаточная функция любой системы (подсистемы, компо­ нента) - это функция комплексного переменного z. Веществен­ ный модуль передаточной функции определяется по формуле

modW(z) = ^[ReW(z)f + [lmW{z)f '

где Re W(z) - вещественная составляющая передаточной функции; Im W{z) - мнимая составляющая.

5.3.3.

МОДЕЛЬ В КОНТУРЕ УПРАВЛЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

В последнее время для целей управления используются раз­ личные модели. Модель должна в сжатые временные сроки обес­ печить прогноз результатов деятельности системы в условиях изменяющейся внешней экономической среды. Существуют сле­ дующие разновидности моделей;

1)статистические, позволяющие прогнозировать гладкие из­ менения в системе и окружающей ее экономической среде;

2)имитационные, дающие возможность проводить в ускорен­ ном масштабе времени эксперименты, натурное воспроизведение которых нежелательно или невозможно (банкротства, катастро­ фы); при этом статистические данные о нежелательных катаклиз­ мах отсутствуют (а если бы они и были, прогнозируемые измене­ ния, которые представляют интерес, могли носить скачкообраз­ ный характер); статистику таких явлений можно «наработать» только в процессе прогонов модели;

3) игровые, позволяющие разрабатывать предварительные решения по выбору альтернативных вариантов (например, вари­ антов инвестирования).

Проведем структурную декомпозицию рассматриваемой си­ стемы - «черного ящика». Введем следующие обозначения под­ систем: ЭП - подсистемы объекта экономики, реализующие основные экономические процессы с передаточной функцией ^эп (^)' ^ ^ ~ управляющие органы в рассматриваемой системе с передаточной функцией W (z); ИМ - настраиваемая модель, пе­ редаточная функция которой равна W^^ (z).

Структурная схема включения настраиваемой модели в кон­ тур управления приведена на рис. 5.7, а. Такая схема известна в различных модификациях. Она обеспечивает неизменность ди­ намических характеристик системы в целом при изменении ди­ намических характеристик объекта в процессе изменений окру­ жающей среды.

Например, при реализации инвестиционного проекта проек­ тируется новый уникальный бизнес-план. Необходимо, с точки зрения администрации, обеспечить компанию неизменной управ­ ляемостью при всех условиях, возникающих во время бизнес-про­ цесса. В этом случае передаточная функция настраиваемой моде­ ли W^J[z) выбирается так, чтобы она была оптимальной при нео­ птимальных реальных процессах. Выходная информация системы сравнивается с параметрами, получаемыми с помощью настраи­ ваемой модели. Разность между ними вводится в цепь отрица­ тельной обратной связи, после чего производится корректиров­ ка управляющих действий.

Передаточная функция системы с моделью в контуре уп­ равления получается с использованием свойств z-преобразований и определяется по формуле

Утверждение. Если для целей управления создана модель, которая включена в контур управления по схеме, показанной на рис. 5.7, а, и позволяет получать оптимальные модельные пара-

324 Глава 5

метры экономических процессов, то справедлива следующая за­ кономерность; чем более чувствительны управляющие органы, тем ближе параметры системы к оптимальным, определяемым с помощью модели.

Доказательство. Требуется доказать, что, чем выше способ­ ность управляющих органов улавливать возмущения переменных X (г) и х^ (t), тем более адекватным по величине будет компенси­ рующее воздействие и (t) в результате их нежелательных откло­ нений. Другими словами, нужно большое усиление сигналов х (/) и х^ (?) и их элементарных изменений.

Определим вещественную функцию ц (z) = mod W (z). Эта функция является неким аналогом коэффициента усиления (или производительности), известного в кибернетике и технике. В на­ шем случае необходимо, чтобы усиление управляющих органов неограниченно увеличивалось, т.е. \i (z)—>•». Передаточная функ­ ция W(z) зависит от W (z) и соответственно от /1(2). Выполним в выражении (5.6) предельный переход и получим формулу

|i(z)->oo

Утвермсдение доказано. Благодаря формуле (5.7) модель в кон­ туре управления можно называть моделью-эталоном.

В соответствии с вышеизложенным настраиваемые модели можно использовать для компенсации вредного влияния запаз­ дывания в объекте управления на устойчивость процесса управ­ ления, закладывая в них возможности упреждения событий (в том числе и нежелательных).

5.3.4. ДВУШКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Перспективным является применение настраиваемых моделей, связанное с использованием их для прогнозирования поведения системы при заданных возмущениях и различных законах управ­ ления, что позволяет отобрать оптимальные варианты управле­ ния. Для этой цели могут быть применены двушкальные системы (рис. 5.7, б), где органы управления и модели отнесены к быстрой части системы. В быстрой части производится выбор альтерна-

Математический инструментарий в управлении проектами 325

тивных вариантов бизнес-планов, анализ рисков. Модели рабо­ тают в режиме периодического решения задачи управления в ус­ коренном масштабе времени (на рис. 5.7, б коэффициент к - это значение масштаба). Анализ всех вариантов должен быть выпол­ нен за время, не превышающее период дискретности г, поэтому появляются дополнительные требования к времени моделиро­ вания.

Двушкальные системы способны работать с заведомо неточ­ ными (относительно прогнозирования) моделями объектов. В частности, это позволяет применять модель не выше второго по­ рядка для объектов высокого порядка. Обычно под моделью в такой системе понимается не одна, а комплекс моделей. Причем для прогнозирования зачастую не хватает доступного (известно­ го) математического аппарата и поэтому используется имитаци­ онное моделирование с CASE-технологией, ускоряющей созда­ ние и модернизацию моделей.

Рассмотренные выше возможности анализа экономических систем позволяют использовать кибернетические подходы для оценки свойств экономических процессов: управляемости, устой­ чивости, достижимости. Анализ этих свойств (особенно устой­ чивости) позволяет более объективно подойти к определению параметров различных бизнес-проектов с учетом рисковых ситу­ аций.

5.4. МОДЕЛЬ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЦЕССА

в настоящее время в связи с развитием имитационного моде­ лирования применительно к методам адаптивного управления появился интерес к использованию системного анализа и мето­ дов общей теории систем для оценки устойчивости экономиче­ ских процессов. На основе применения доступных информаци­ онных технологий создаются средства предварительной оценки эффективности инвестиционных проектов. Наглядным примером создания эффективного метода оценки инвестиционных проек­ тов является метод, который бьш использован для оценок эффек­ тивности «инвестирования в безопасность».

5.4.2.

ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ИНВЕСТИЦИОННЫХ СУММ ЧАСТЯМИ

Рассмотрим более общий и привлекательный для инвестора случай. Допустим, что стоимость инвестиционного проекта оп­ ределена как V (долл.). По поводу того, каким образом эта сум­ ма передается инвестором для реализации проекта, может быть не менее двух мнений.

1. С точки зрения компании, реализующей проект, эту сумму желательно получить сразу - в нулевой интервал дискретности. В этом случае компания получает максимальную свободу в об­ ращении с денежными средствами.

2. Инвестор может и не иметь возможности сразу перечислить V (долл.). Тогда ему удобнее заплатить эту сумму по частям, через какие-то промежутки времени (но для компании это менее удоб­ но). При этом возникают два взаимосвязанных вопроса:

•как оценить устойчивость процесса освоения инвестиций при получении денежной суммы по частям?

•насколько изменится устойчивость этого процесса? Ниже попытаемся найти ответ на эти вопросы. Поскольку мы

определяли устойчивость процесса освоения инвестиций по виду переходного процесса в условиях, когда не все его внутренние мотивы и механизмы могут быть известны, то соответствующее заключение об устойчивости необходимо доказать.

Введем следующие обозначения:

Если Т^ - это продолжительный интервал, то в условиях ин­ вестиционного проекта и в договоре с инвестором можно учесть инфляционные процессы введением коэффициента дисконтиро­ вания и увеличением итоговой суммы инвестиций. Поэтому в общем случае (см. рис. 5.3, а) справедливы два соотношения:

330 Глава 5

Э т ап 1. В нулевой интервал дискретности приходит первая сумма V^. Передаточная функция системы, реализующей инвес­ тиционный проект, определяется выражением (5.10).

Реакция системы на приход разовой суммы уже бьша рассмот­ рена. В данном случае имеем следующее выражение, почти (т.е. с точностью до множителя-константы) совпадающее с (5.11):

Далее с учетом формул (5.12) и (5.14) получим выражение, почти совпадающее с (5.13):

Э т а п 2. Вторая сумма V^ приходит в первый интервал дис­ кретности с запаздыванием на время t относительно первой сум­ мы. Относительно теории автоматического управления приход суммы V^ - это дополнительное входное воздействие на процесс. Воспользуемся двумя теоремами (см. табл. 5.3):

•теоремой о сдвиге аргумента во времени - для получения /-преобразования выходной функции при поступлении только суммы V^ с запаздыванием на время т ;

•теоремой линейности - для получения z-преобразования выходной функции и общего вида полиномов Р^ (z) и Q^ (z) при суммарном воздействии У^и V^.

После этого из (5.12) получим