Системный анализ в управлении - Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. (под ред. Емельянова А.А

У а

Рис. 4.4. Интерполирование функции полиномом: 1 - верхнее ограничение у =f(x) + £; 2 - функция у =/{х);

3-полином 7 = Р(х) ; 4 - нижнее ограничение у=/{х)—Е

При таком представлении процесса интерполирования ста­ новится понятно, что экстраполирование - это процесс вычисле­ ния значения функции, находящегося за пределами ряда задан­ ных значений.

Экстраполирование нужно применять с осторожностью. Но если известно, что функция около концов данного ряда значений изменяется плавно, и если Дх берется достаточно малым, то мож­ но спокойно экстраполировать на расстояние Дл: за пределами ряда имеющихся значений.

Для проведения интерполирования существует ряд формул, рассматриваемых в численных методах математического анали­ за. При их применении в прогнозировании следует учитывать, что если число точек х^, х,, Xj,..., х^ неограниченно возрастает, то интерполирующий пблином превращается в бесконечный ряд, называемый интерполяционным рядом. И подобно тому как сте­ пенной ряд сходится внутри и расходится во вне некоторого оп­ ределенного интервала, так и интерполяционный ряд сходится к

232 Глава 4

заданной функции внутри некоторого интервала и перестает к ней сходиться вне его.

Поскольку увеличение периода упреждения прогноза Дл: вле­ чет за собой увеличение степени неопределенности процессов развития системы, то в методах экстраполяции выделяют статис­ тические методы.

Статистические методы прогнозирования опираются на те­ орию вероятностей, математическую статистику и теорию слу­ чайных процессов.

К статистическим методам прогнозирования относят:

•методы многофакторного анализа (регрессионные модели, адаптивное сглаживание, метод группового учета аргументов, имитационные модели, многомерная фильтрация и др.);

•методы однофакторного прогнозирования (экспоненциаль­ ное сглаживание, метод скользящего среднего, метод разностных уравнений, спектральные методы, метод марковских цепей, оп­ тимальные фильтры, сплайн-функции, метод авторегрессии и др.).

Теория случайных процессов имеет дело с исследованием структуры семейств случайных величин Л',, где / - параметр, при­ надлежащий множеству Т. Случайные процессы, у которых Т- [О, оо), особенно важны для прогнозирования. При этом / ин­ терпретируется как время. Реализацией, или выборочной функ­ цией, случайного процесса {Х^, teT} является функция, ставя­ щая в соответствие каждому t е Т одно из возможных значений А',. Множество параметров Г может быть дискретным, а {Х^} мо­ жет при этом представлять исходы последовательных испытаний, таких, как результаты бросаний монеты, последовательность со­ стояний системы при различных воздействиях и др. Например, в случае когда Х^ является исходом и-го бросания монеты, возмож­ ные результаты образуют множество{1, 2, 3, 4, 5, 6}, а одной из типичных реализаций процесса является последовательность 5,1,2,2,4,1,6,3,6,....

Другим весьма важным примером случайного процесса, не­ прерывного по времени (Г= [О,«)), является пуассоновский про­ цесс. Его выборочная функция Z, представляет собой число ре­ гистрации наступления некоторого события за период от О до текущего момента времени /. Очевидно, всякая возможная реа­ лизация Х^ есть неубывающая ступенчатая функция. Общее чис­ ло наступлений события возрастает только единичными скачка-

ми, а ZQ = 0. Конкретными примерами наблюдаемых величин, образующих подобного рода процессы, являются число телефон­ ных вызовов из данного района, число происшествий на данном перекрестке, число ошибок на странице машинописного текста и т.д. Свойствами пуассоновских процессов являются:

•независимость числа наступлений события в некотором интервале от числа наступлений этого события в любом другом, не пересекающемся с ним интервале;

•вероятность того, что за период времени h произойдет по

меньшей мере одно событие, есть pQi) = ah + o{h), h -^0, a> О, причем g(t) = o{t) при /-> О означает, что lim g{t) It = 0;

• вероятность того, что за время h произойдут два или более событий, есть o{h), что означает невозможность одновременного появления двух и более событий.

Если перечисленные условия выполняются, то в качестве про­ гноза может быть получена вероятность Р^ (/) того, что за время t произойдет ровно т событий. Эта вероятность равна

где a - параметр процесса, причем p{h)l h—* а.

В частности, среднее число наступления события за время t равно at.

Модель пуассоновских процессов совместно с порядковыми статистиками используется для решения задачи о баллотировке (выборах). Многомерные пуассоновские процессы используют­ ся в астрономии.

Одной из основных моделей случайных процессов, использу­ емой в прогнозировании, является модель марковских цепей. Такими моделями описывается большое количество физических, биологических, экономических, технических и других явлений.

Дискретная марковская цепь представляет собой марковский случайный процесс, пространство состояний которого счетно или конечно. Кроме того, множество индексов Т^ (1, 2, 3 ...).

Марковский процесс - это процесс, обладающий тем свой­ ством, что если известно значение случайной величины Х^, то зна­ чения Х^, s > /, не зависят от Х^, и < t, другими словами, вероят-

ность любого события, связанного с будущим поведением про­ цесса, при условии, что его настоящее состояние точно известно, не изменится, если учесть дополнительную информацию относи­ тельно прошлого этого процесса.

Формально процесс является марковским, если

P{a<X<b\x,^=x^,X^-x„...,X^ = x^,}=P{a<X<b\x^-x^,} при t^<t^< ... г„ < t.

Классическими примерами цепей Маркова являются процес­ сы рождения и гибели (прогнозирование численности популяции организмов), ветвящиеся процессы (моделирование электронных умножителей, развитие нейтронной цепной реакции, развитие биологических систем), броуновское движение (физические и со­ циальные процессы), вероятностные модели мутаций и роста, модели иммиграции и роста популяции, описание генетического механизма, модели экологических процессов, системы массово­ го обслуживания.

При использовании моделей случайных процессов предпола­ гается знание законов распределения случайных величин. К со­ жалению, во многих реальных системах, в частности в ИС, зна­ ние этих законов не полно. В таких условиях применяются мето­ ды прогнозирования, основанные на неравенстве Чебышева, пред­ ставляемом как

р{Х->а)< М 1а, а>0

или как

Особенность приведенных выражений заключается в том, что они способны аппроксимировать любой закон распределения и, следовательно, заменить его собой. Достаточно знать только М^ и D^, чтобы построить нужную аппроксимацию. При этом со­ храняются простота модели, умеренные требования к исходным

Рис. 4.5. Логистическая кривая: у^=а/(1+Ь)

данным, однозначность рекомендаций. Однако следует понимать, что применение неравенства Чебышева дает возможность полу­ чить лишь ориентировочные оценки прогнозируемой величины

изатрудняет оценку погрешности прогноза.

Вслучае когда требуется получить долгосрочный прогноз развития какого-либо процесса, часто используется аппроксима­ ция логистической зависимостью, называемой также сигмоидальной (^-образной) функцией

у = а/(1 + Ье~'^),

где а, Ь, с - некоторые положительные величины, выбираемые в соответ­ ствии с имеющейся информацией об изучаемых явлениях.

Особенностью логистической кривой (рис. 4.5) является то, что существует предел а, к которому стремятся значения иссле­ дуемой переменной у, например, население Земли, рост произво­ дительности труда, уровень возбуждения искусственного персептрона в нейронных сетях, при х —>°°.

Использование логистической кривой облегчает поиск при­ емлемых оценок будущего. Однако следует помнить, что в жиз­ ненном цикле систем существуют периоды сравнительно медлен­ ных эволюционных изменений и периоды скачкообразных изме­ нений состояния.

Каких-либо универсальных формальных правил надежного прогнозирования скачкообразных изменений состояния систем

внастоящее время не существует. Однако в ряде случаев для про­ гнозирования таких изменений используются модели теории ка­ тастроф.

Влитературе описывается использование теории катастроф

воптике, лингвистике, экономике, гидродинамике, эмбриологии, экспериментальной психологии, геологии и других предметных областях. Однако имеется также много публикаций, специально посвященных критике этой теории.

Математически катастрофа, под которой понимается резкое качественное изменение системы (например, возникновение дис­ кретных структур из непрерывных, гладких) в ответ на плавное изменение внешних условий, описывается теориями особенностей

и бифуркаций.

Теория особенностей - обобщение исследования функций на максимум и минимум, в которых функции заменены отображе­ ниями (набором нескольких функций нескольких переменных). Родоначальником этой теории считается американский матема­ тик Уитни.

Пример особенности, называемой сборкой Уитни, которая получается при проектировании на плоскость поверхности, при­ веден на рис. 4.6. Эта поверхность (рис.4.6а) задана формулой y^ = x^^ + дс, Xj в пространстве с координатами (xj, Xj, j^j) и проек­ тируется на горизонтальную плоскость (xj, y^).

Таким образом, отображение задается в локальных коорди­ натах формулами

У^ = Х,3 + X, Xj , :И2 = Х2.

На горизонтальной плоскости-проекции (рис. 4.66) вьвделяется полукубическая парабола с точкой возврата (острием) в на­ чале координат. Эта кривая делит горизонтальную плоскость на две части: меньшую и большую. Точки меньшей части имеют по три прообраза (в них проектируются три точки поверхности), точки большей части - лишь по одному, точки кривой - по два. При подходе к кривой из меньшей части два прообраза (их трех) сливаются и исчезают (в этом месте особенность - складка), при подходе к острию сливаются все три прообраза.

Схема большинства применений теории особенностей в про­ гнозировании основывается на предположении, что изучаемый

/

Рис. 4.6. Сборка поверхности (а) и проектирование ее на плоскость (б)

процесс описывается с помощью некоторого числа управляющих и внутренних параметров. Состояния равновесия процесса обра­ зуют поверхность того или иного числа измерений в этом про­ странстве. Проекция поверхности равновесий на плоскость уп­ равляющих параметров может иметь особенности. Предполага­ ется, что это особенности общего положения, а не исключитель­ ные. В таком случае теория особенностей предсказывает геомет­ рию «катастроф», т.е. перескоков из одного состояния равнове­ сия в другое при изменении управляющих параметров. Предска­ зания теории полностью подтверждаются экспериментом в та­ ких областях, как хлопки упругих конструкций, опрокидывание кораблей и др. Однако в биологии, психологии, социальных на­ уках как исходные предпосылки, так и выводы имеют скорее эв­ ристическое значение.

Слово «бифуркация» означает раздвоение и употребляется для обозначения всевозможных качественных перестроек или мета-

морфоз различных объектов при изменении параметров, от ко­ торых они зависят.

Например, пространство состояний нелинейной динамичес­ кой системы, описываемой выражением:

\Уп+1=^Х„,

где п интерпретируется как момент времени, может выглядеть в зависимос­ ти от параметров а и р так, как это показано на рис. 4.7.

Из рис. 4.7, а видно, что на интервале времени п = [О, 2000] множество допустимых состояний системы при а = 1,4, Р = 0,2388 группируется в семь отчетливо выделяемых значений, переходя­ щих друг в друга (образующих предельный цикл). Прогноз со­ стояний системы, определяемых как совокупность значений х. и y^, i = [О, о°), в этом случае не представляет труда. Изменение ко­ эффициента р на небольшую величину приводит к резкому каче­ ственному изменению пространства состояний, когда вместо семи появляется 2 000 значений (рис. 4.7, б).

Прогнозирование состояний возможно и в этом случае, од­ нако носит несколько иной характер. Моделирование проводи­ лось в среде LabVIEW 4.0.1 на Pentium 133, Windows 95.

Нелинейная динамическая система (4.7) представляет собой модифицированное отображение Хенона (странный аттрактор) - модель детерминированного хаоса, в которой при одних и тех же значениях параметров и начальных условиях решения носят слу­ чайно-подобный характер. Однако при повторении тех же началь­ ных условий и сохранении прежних значений параметров систе­ мы эти случайно-подобные решения всякий раз будут повторять­ ся. Именно такой установившийся режим движения получил название странного аттрактора (притягивателя) - множества со­ стояний, которое притягивает соседние режимы в фазовом про­ странстве и отличается от состояния равновесия и строго периодичес1^их колебаний.

При использовании любых методов прогнозирования возни­ кают проблемы, связанные с оценкой качества прогноза. Эти проблемы решаются в процессе верификации прогноза - по сово­ купности критериев, способов и процедур, позволяющих на ос-

нове многостороннего анализа оценить достоверность, точность и обоснованность прогноза. В управлении качество прогноза может оцениваться по результату его использования для целей планирования и оперативного управления.

Общие методы верификации прогнозов пока не выработаны. Однако считается, что прогнозный доверительный интервал не может быть меньще определенной величины, зависящей от инер­ ционности, связности, сложности системы, устойчивости дина­ мики и т.д. Так, чем более инерционной является система, тем более гладкой и устойчивой представляется траектория ее изме­ нения, и, следовательно, вероятность попадания прогнозируемой величины в доверительный интервал больше.

В странных аттракторах из-за того, что кривизна многомер­ ной поверхности, по которой движется точка, отображающая состояние системы, по многим направлениям отрицательна, про­ исходит быстрое разбегание траекторий. Это, в свою очередь, приводит к плохой предсказуемости движения по начальным ус­ ловиям. В частности, из этого вытекает практическая невозмож­ ность долгосрочного динамического прогноза погоды: для пред­ сказания на 1 - 2 месяца вперед нужно знать начальные условия с погрешностью 10"^ от погрешности предсказания.

4.2.5. МОДЕЛЬ ФУНКЦИИ ПЛАНИРОВАНИЯ

Планирование представляет собой процесс последовательно­ го снятия неопределенности относительно структуры и характе­ ристик объекта управления, разделенного на два подпроцесса. Первый - это последовательность процедур преобразования, по­ зволяющая получить факты, характеризующие требуемое состо­ яние ОУ - перечень и множество допустимых значений характе­ ристик этого объекта. Иначе говоря, здесь формируется структу­ ра и диапазон значений выходных характеристик ( решается ЗПРц). Второй подпроцесс реализует выбор конкретного значе­ ния характеристик и способ достижения этого состояния (реша­ ется ЗПРд).

В основе модели процесса планирования лежит понятие ре­ курсии.