Системный анализ в управлении - Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. (под ред. Емельянова А.А

Сначала вблизи /=0 этот тренд растет от нуля линейно с коэф­ фициентом ^2- Далее при больших значениях / этот тренд умень­ шается до нуля по экспоненте с коэффициентом 6,. Вид 6, мы уже определили в подразд.5.2.3. Для получения Z>2 проинтегрируем выражение для х^{1) и приравняем значение интеграла получен­ ной предельной величине L^ :

Приравняв соответствующие выражения, поскольку это одна и та же сумма, получим последний коэффициент ftj:

Вариант 1 можно рекомендовать, если сумма инвестиций не очень большая и если период ее освоения попадает под опреде­ ление «краткосрочный» (менее года).

Вариант 2. Вид тренда временной выгоды и в этом случае по­ лучим с помощью следующей итерационной процедуры.

Этап 1. В момент времени ^Q=0 полагаем, что в течение Т дней нам не потребуются свободные деньги:

По истечении интервала Т будем располагать этой возвра­ щенной суммой плюс плата за ссуду:

/(/1) = Гр(1 + /'7')е-^*1-

Сумму j(/,) далее мы будем использовать по назначению. Этап 2. В момент времени t^=T можно полагать, что по

истечении следующих Т дней нам не потребуется сумма

siti) + ЬЧн) - sUi)] = Vp е-^^*> + Vp РТе-^ь,.

Математический инструментарий в управлении проектами 313

По истечении второго интервала Гбудем располагать суммой

/(/2) = Гр (1 + PT)Q-^'^by + у^ рщ + PT)e-^h.

Сумму s(t2) далее мы будем использовать по назначению.

Э т а п 3. В момент времени <2=2Г можно полагать, что по истечении следующих Т дней нам не потребуется сумма

s(t3) + [s4t2)-sit2)] = Vp e-^^'-' + Fp РТе-^ть, + у^рщ + рт)^-ть,.

По истечении третьего интервала Т нам вернут сумму

s\ti) = Гр (1 + PT)Q-^^b, + у^ рт(\ + PT)Q-^n, + у^ PT{\+PTfc~Tb,^

Сумму ^(^з) из возвращенных средств далее будем использо­ вать по назначению.

Э т а п п. После этапа п получим выражение, аналогичное выражению для s'it-^.

Нетрудно заметить, что после очередного этапа п за вычетом s{t^ имеем свободные средства

"-' -ть L„ = К PTQ-''^Ь^ + V. РЩ + РГ)е"^"-'>'"*1 +...+Гр РТ(1+РТ) е1 .

С учетом этих средств суммы, осваиваемые фирмой в резуль­ тате предоставленных инвестиций, будут расходоваться прибли­ зительно так, как это показано ломаной пунктирной линией на рис. 5.46.

Последнее выражение может быть записано более ком­ пактно:

L„ = VpPTi(l+PT)"-'e-'^'i-

Далее обозначим

^ = (1-|-РГ)~'е'^*1'

После соответствующих преобразований получим оконча­ тельное выражение:

L„ = VpPTg\-^il+PT)"-

l-q

Предельного конечного выражения при L^_^ „ в данном слу­ чае не существует при Р >0. Поэтому при определении коэффи­ циента Ь2 тренда х^ (t) будем пользоваться конкретными значе­ ниями п. Приблизительный вид для х^ (t) показан на рис. 5.5, а. При больших значениях / вступает в силу множитель (1+РТ)", который начинает «поднимать» этот тренд. Это можно тракто­ вать как появление четвертого тренда. Однако здесь наличие стар­ ших трендов мы рассматривать не будем.

Определим коэффициентfejтак, как это было сделано для варианта 1, но с конечным интервалом интегрирования:

Приравняем этот интеграл значению L^ и получим

Итак, мы рассмотрели только два варианта из множества аль­ тернативных вариантов более полного использования финансо­ вых средств.

Сумму L„ (вариант 1) или L„ (вариант 2) можно отнести к финансовым результатам фирмы в виде выручки или прибьши, подлежащей дальнейшему распределению. Далее рассмотрим численные различия между этими вариантами.

Сравнительные результаты просчета по обоим вариантам для конкретного случая показаны на рис. 5.5, б.

5.3. ТЕОРИЯ ДИСКРЕТНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

5.3.1. ДИСКРЕТНАЯ СИСТЕМА И ЕЕ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Дискретная управляемая система - это система, в которой на вход хотя бы одной подсистемы (компонента или звена) подает­ ся дискретный сигнал. Исходя из такого определения любой объект микроэкономики (предприятие, корпорация, отрасль) яв­ ляется дискретной системой. Дискретный сигнал в отличие от непрерывного связан с дискретными событиями, возникающими в определенные моменты времени; при возникновении этих со­ бытий он имеет конкретное значение, в другие моменты времени сигнал считается отсутствующим (или нулевым).

Примеры дискретных событий: факт продажи партии продук­ ции, подписание контракта, перечисление денежной суммы на расчетный счет объекта экономики, завершение фиксированно­ го контрольного периода времени (например, финансового дня), по истечении которого может быть подсчитан баланс предприя­ тия. Контрольный период времени для объекта экономики - это период дискретности х, по завершении которого можно опреде­ лить точные значения входных воздействий и результатов дея­ тельности объекта в денежном выражении. Внутри интервала дискретности такие значения не определяются.

Дискретный сигнал в зависимости от сложности его назначе­ ния может представлять собой некий атом-транзакт, поток транзактов с изменяющейся интенсивностью (в технических системах - дискрет). Сигнал содержит в себе информацию о материальном, информационном или денежном потоке, проходящем через ка­ кую-либо подсистему объекта. Подобная информация может быть передана посредством параметров сигнала, поэтому сигнал можно рассматривать как вектор. Будем отображать значения такой информации графически в виде 6-импульса (рис. 5.6, а) в

Математический инструментарий в управлении проектами 317

a

Рис. 5.6. Дискретная система с к степенями свободы:

а- представление дискретной информации;

б- система с передаточной функцией lV(z) в виде «черного ящика»

соответствии с площадью, которая определяется некоторым ко­ эффициентом перед 5-функцией. Под термином «система» далее будем понимать объект микроэкономики вместе с органом уп­ равления.

5.3.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрим описание системы относительно переменных «вход =» выход». Процесс дискретизации можно описать таким образом:

где /*(0 - функция, описывающая дискретный сигнал в моменты време­ ни их;

т- период дискретности.

Поскольку 5-функция определена на всей временной оси, над функцией f{t) можно выполнить преобразование Лапласа:

Выражение (5.1) является записью дискретного преобразова­ ния Лапласа. Однако для описания и анализа дискретных систем управления более компактным и удобным является z-преобразо­ вание.

Заменим в выражении (5.1) экспоненту е''^ на переменную z. Далее будем иметь дело с функцией/(/) только в моменты време­ ни t=n'i, п=0, 1,2, ... Фактически мы полностью перешли к диск­ ретной функции/*(/) со значениями/(ит), и=0, 1, 2, ... Причем z-преобразование такой дискретной функции определяется как

/1=0

Таблицы соответствия вещественных функций-оригиналов и их z-преобразований (изображений на комплексной плоскости) можно найти в математических справочниках. Далее будем ис­ пользовать некоторые свойства z-преобразований. Основные те­ оремы, определяющие эти свойства, а также основные использу­ емые преобразования приведены в табл. 5.3.