Системный анализ в управлении - Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. (под ред. Емельянова А.А

Рассмотрим пример оценки эффективности систем в вероят­ ностных операциях по приведенному критерию.

Пример 2.1. Оценка вариантов конфигурации гетерогенной локальной вычислительной сети общего пользования. Исследуе­ мая операция - обмен сообщениями между пользователями, сис­ тема - варианты размещения сетевого оборудования, показатель исхода операции - число переданных сообщений и^ (дискретная величина). Числовые данные для оценки приведены в табл. 2.9.

Расчет показателей и оценка эффективности по критерию пре­ восходства показывают, что в качестве оптимальной системы должен быть признан вариант 2 конфигурации сети:

К(а^) = 0,3 • 0,8 + 0,5 • 0,5 + 0,2 • 0,1 = 0,51; Щйз) = 0,25 • 0,8 + 0,6 • 0,5 + 0,15 • 0,1 = 0,515;

К^^ = max Щ) = К{а^) = 0,515.

Кроме оптимизации «в среднем» в вероятностных операциях используются и другие критерии оценки систем:

•максимум вероятности случайного события;

•максимум степени вероятностной гарантии достижения результата не ниже требуемого уровня;

•минимум среднего квадрата уклонения результата от тре­ буемого;

•минимум дисперсии результата;

•максимум вероятностно-гарантированного результата;

•минимум среднего (байесовского) риска (минимум средних потерь).

Рассмотрение этих критериев составляет один из разделов теории принятия решений.

2.5.4. ОЦЕНКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Специфические черты организационно-технических систем часто не позволяют свести операции, проводимые этими систе­ мами, к детерминированным или вероятностным. К таким чер­ там относятся:

1.Наличие в управляемой системе в качестве элементов (под­ систем) целенаправленных индивидуумов и наличие в системе управления ЛПР, осуществляющих управление на основе субъек­ тивных моделей, что и приводит к большому разнообразию по­ ведения системы в целом.

2.Алгоритм управления часто строит сама система управле­ ния, преследуя помимо предъявляемых старшей системой целей собственные цели, не всегда совпадающие с внешними.

3.На этапе оценки ситуации в ряде случаев исходят не из фак­ тической ситуации, а из той модели, которой пользуется ЛПР при управлении объектом.

4.В процессе принятия решения большую роль играют логи­ ческие рассуждения ЛПР, не поддающиеся формализации клас­ сическими методами математики.

5.При выборе управляющего воздействия ЛПР может опери­ ровать нечеткими понятиями, отношениями и высказываниями.

6.В большом классе задач управления организационно-тех­ ническими системами отсутствуют объективные критерии оце­ нивания достижения целевого и текущего состояний объекта управления, а также статистика, достаточная для построения со­ ответствующих вероятностных распределений (законов распре­ деления исходов операций) для конкретного принятого решения.

Таким образом, несводимость операций, проводимых слож­ ными организационно-техническими системами к детерминиро­ ванным или вероятностным, не позволяет использовать для их оценки детерминистские и вероятностные критерии.

Условия оценки эффективности систем для неопределенных операций можно представить в виде табл. 2.10, в которой обозна­ чены:

Каждая строка таблицы содержит значения эффективности одной системы для всех состояний обстановки и, а каждый стол­ бец - значения эффективности для всех систем а. при одном и том же состоянии обстановки. В случае задания состояний обстанов­ ки одним параметром матрица эффективности может быть пред­ ставлена диаграммой (рис. 2.11).

Внеопределенной операции могут быть известны множество состояний обстановки и эффективность систем для каждой из них, но нет данных, с какой вероятностью может появиться то или иное состояние.

Взависимости от характера неопределенности операции мо­ гут делиться на игровые и статистически неопределенные. В иг­ ровых операциях неопределенность вносит своими сознательны­ ми действиями противник. Для исследования игровых операций используется теория игр. Условия статистически неопределенных операций зависят от объективной действительности, называемой

Рис. 2.11. Диаграмма эффективности систем а. для условий п.

природой. Природа рассматривается как незаинтересованная, безразличная к операции сторона (она пассивна по отношению к лицу, принимающему решение). Такие операции могут исследо­ ваться с применением теории статистических решений.

Если операция, проводимая системой, уникальна, то для раз­ решения неопределенности при оценке систем используются субъективные предпочтения ЛПР. По этой причине единого кри­ терия оценки эффективности для неопределенных операций не существует. Разработаны лишь общие требования к критериям и процедурам оценки и выбора оптимальных систем. Основными требованиями являются:

1) оптимальное решение не должно меняться с перестановкой строк и столбцов матрицы эффективности;

2)оптимальное решение не должно меняться при добавлении тождественной строки или тождественного столбца к матрице эффективности;

3)оптимальное решение не должно меняться от добавления постоянного числа к значению каждого элемента матрицы эф­ фективности;

4)оптимальное решение не должно становиться неоптималь­ ным, а неоптимальное оптимальным в случае добавления новых систем, среди которых нет ни одной более эффективной системы;

5) если системы а^ и а. оптимальны, то вероятностная смесь этих систем тоже должна быть оптимальна.

В зависимости от характера предпочтений ЛПР наиболее ча­ сто в неопределенных операциях используются критерии:

•среднего выигрыша;

•Лапласа;

•осторожного наблюдателя (Вальда);

•максимакса;

•пессимизма-оптимизма (Гурвица);

•минимального риска (Сэвиджа). Рассмотрим эти критерии на примере.

Критерий среднего выигрыша. Данный критерий предполага­ ет задание вероятностей состояний обстановки/>j.. Эффективность систем оценивается как среднее ожидаемое значение (математи­ ческое ожидание) оценок эффективности по всем состояниям об­ становки:

Оптимальной системе будет соответствовать эффективность

/(Гопт = max X pjkij, i = 1,..., m,

Если в данном примере задаться вероятностями применения противником программных воздействий />, = 0,4, Р2 = 0,2, />з = 0,1 и /74 ~ 0,3, то получим следующие оценки систем:

К(а{) = 0,4 • 0,1 + 0,2 • 0,5 + 0,1 • 0,1 + 0,3 • 0,2 = 0,21; К(а2) = 0,4 • 0,2 + 0,2 • 0,3 + 0,1 • 0,2 + 0,3 • 0,4 = 0,28; К{а^) = 0,4 • 0,1 + 0,2 • 0,4 + 0,1 • 0,4 + 0,3 • 0,3 = 0,25.

Оптимальное решение - система а^.

Для применения критерия среднего выигрыша необходим, по существу, перевод операции из неопределенной в вероятностную, причем произвольным образом.

Критерий Лапласа. В основе критерия лежит предположение: поскольку о состояниях обстановки ничего не известно, то их можно считать равновероятными. Исходя из этого

Рассчитаем эффективность систем по данному критерию для приведенного примера:

Да,) = 0,25 (0,1 + 0,5 + 0,1 + 0,2) = 0,225; Щаз) = 0,25 (0,2 + 0,3 + 0,2 + 0,4) = 0,275; К(а^) = 0,25 (0,1 + 0,4 + 0,4 + 0,3) = 0,3.

Оптимальное решение - система Оу Критерий Лапласа пред­ ставляет собой частный случай критерия среднего выигрыша.

Критерий осторожного наблюдателя (Вальда). Это максиминный критерий, он гарантирует определенный выигрыш при наи­ худших условиях. Критерий основывается на том, что, если состояние обстановки неизвестно, нужно поступать самым осто­ рожным образом, ориентируясь на минимальное значение эффек­ тивности каждой системы.

В каждой строке матрицы эффективности находится мини­ мальная из оценок систем по различным состояниям обстановки

J

Оптимальной считается система из строки с максимальным значением эффективности:

^опт = max(min^,:), i = 1,..., m, j = 1,... ,t.

i j

Применение критерия максимина к нашему примеру дает сле­ дующие оценки:

К(а^) = min(0,l; 0,5; 0,1; 0,2) = 0,1; К(а2) = min(0,2; 0,3; 0,2; 0,4) = 0,2; А:(аз) = min(0,l; 0,4; 0,4; 0,3) = 0,1.

Оптимальное решение - система AIJ-

Максиминный критерий ориентирует на решение, не содер­ жащее элементов риска: при любом из возможных состояний об­ становки выбранная система покажет результат операции не хуже найденного максимина. Такая осторожность является в ряде слу­ чаев недостатком критерия. Другой недостаток - он не удовлет­ воряет требованию 3 (добавление постоянного числа к каждому элементу столбца матрицы эффективности влияет на выбор сис­ темы).

Критерий максимакса. Этим критерием предписывается оце­ нивать системы по максимальному значению эффективности и выбирать в качестве оптимального решения систему, обладаю­ щую эффективностью с наибольшим из максимумов:

А:(а,) = тахА:,у,

J

^опт - max(max^jy).

'• j

Оценки систем на основе максимаксного критерия в нашем примере принимают такие значения:

К(а^) = max (0,1; 0,5; 0,1; 0,2) = 0,5; К(а2) = max (0,2; 0,3; 0,2; 0,4) = 0,4; К(ау) = max (0,1; 0,4; 0,4; 0,3) = 0,4.

Оптимальное решение - система а,. Критерий максимакса - самый оптимистический критерий. Те, кто предпочитает им пользоваться, всегда надеются на лучшее состояние обстановки и, естественно, в большой степени рискуют.

Критерий пессимизма-оптимизма (Гурвица). Это критерий обобщенного максимина. Согласно данному критерию при оцен­ ке и выборе систем неразумно проявлять как осторожность, так и азарт, а следует, учитывая самое высокое и самое низкое значе­ ния эффективности, занимать промежуточную позицию (взвеши­ ваются наихудшие и наилучшие условия). Для этого вводится коэффициент оптимизма а (О < а < 1), характеризующий отноше­ ние к риску лица, принимающего решение. Эффективность сис­ тем находится как взвешенная с помощью коэффициента а сум­ ма максимальной и минимальной оценок:

ЛГ(а,-) = а max kjj + (1 - а)min ки.

J J

Условие оптимальности записывается в виде

•^опт ~ niax а max ky + (1 - а)min ку 0 ^ а < 1 .

J J

Зададимся значением а = 0,6 и рассчитаем эффективность си­ стем для рассматриваемого примера:

К{а^) = 0,6 • 0,5+(1-0,6) • 0,1 = 0,34; К(а2) = 0,6 • 0,5+(1-0,6) • 0,2 = 0,32; К(а^) = 0,6 • 0,4+(1-0,6) • 0,1 = 0,34.

Оптимальной системой будет а,.

При а = О критерий Гурвица сводится к критерию максими­ на, при а = 1 - к критерию максимакса. Значение а может опре­ деляться методом экспертных оценок. Очевидно, что, чем опас­ нее оцениваемая ситуация, тем ближе величина а должна быть к единице, когда гарантируется наибольший из минимальных вы­ игрышей или наименьший из максимальных рисков.

На практике пользуются значениями коэффициента а в пре­ делах 0,3 - 0,7. В критерии Гурвица не выполняются требования 4 и 5.

Критерий минимального риска (Сэвиджа). Минимизирует по­ тери эффективности при наихудших условиях. Для оценки сис­ тем на основе данного критерия матрица эффективности должна быть преобразована в матрицу потерь (риска). Каждый элемент матрицы потерь определяется как разность между максимальным

итекущим значениями оценок эффективности в столбце:

Аkij = max kij - ky.

После преобразования матрицы используется критерий минимакса:

выбранная система не оказа­ лась наилучшей при опреде­

ленном состоянии обстановки. Так, если произвести выбор сис­ темы а,, а состояние обстановки в действительности Пу то сожа­ ление, что не выбрана наилучшая из систем (а^), составит 0,3. О критерии Сэвиджа можно сказать, что он, как и критерий Вальда, относится к числу осторожных критериев. По сравнению с Критерием Вальда в нем придается несколько большее значение выигрышу, чем проигрышу. Основной недостаток критерия - не выполняется требование 4.