Системный анализ в управлении - Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. (под ред. Емельянова А.А
.).pdfМатематический инструментарий в управлении проектами 301
«2 (с учетом дисконтирования). Далее для упрощения математи ческих выражений будем рассматривать ПРИП, полагая, что в более сложных случаях или для непроизводственных объектов квалифицированный экономист либо вручную, либо с помощью программных средств (например, с помощью Project Expert) смо жет провести расчеты, аналогичные приведенным ниже.
Требуется определить:
•основные тренды результатов деятельности фирмы-инвес
тора;
•меру устойчивости и выбрать набор параметров, характе ризующих работу фирмы-инвестора по реализации инвестиции во время процесса реорганизации, при котором устойчивость ее работы будет наибольшей;
•время / достижения уровня AJJ
•критерий качества управления ПРИП во время его реали зации и с его помощью проводить минимизацию потерь, вклю чая упущенную выгоду;
•минимально необходимый размер суммы инвестиции, ко торый позволит вести ПРИП по выбранному сценарию, с опре деленной устойчивостью и при минимуме потерь.
5.2.3. ОСНОВНЫЕ ТРЕНДЫ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
На основе элементарных экономических закономерностей и правил рассматриваются три основных тренда переходного про цесса в деятельности фирмы-инвестора:
1)тренд спада производства (или убытков) в связи с реорга низацией;
2)тренд роста объемов производства (или прибылей) в связи
стой же реорганизацией;
3)тренд временной выгоды, связанный с адаптивным управ лением во время переходного процесса.
Эти тренды - логистические кривые, которые одновременно являются первыми слагаемыми некого временного ряда (на са мом деле число трендов можно найти значительно больще).
302 Глава 5
Параметры логистических кривых определяются через функ циональные и стоимостные характеристики фирмы, получающей инвестиции. Такими основными параметрами являются асимп тоты, между которыми находятся логистические кривые, а также предельные интенсивность спада, интенсивность роста и интен сивность регулирования.
Поступление инвестиционных сумм во времени на счета фир мы показано на рис. 5.3, а. Введем упрощающее предположение (только для данного подраздела): будем полагать, что инвести ции в сумме V , необходимые для реализации проекта, посту пают на счета фирмы в течение одного интервала дискретности т (день). Скорость поступления денег в этом случае постоянна и равна V /т (долл./день). Рассмотрим вид изменения объемов производства x(t) в единицу времени, который показан на рис. 5.3, б.
Тренд спада. Предположим, что до реорганизации производ ства фирма-инвестор имела M(t)=M^ рабочих мест (или участ ков), выпускающих «старую» продукцию, причем с каждого мес та получается доля общего объема со средней величиной А.^ . Справедливо следующее соотношение:
Ml
ai= 'LAi.
1=1
Для простоты изложения будем считать, что имеется средняя производительность одного места, которая равна A^. Произво дительность старых мест должна быть увеличена в к раз. Далее в процессе реорганизации «старое» производство должно быть уменьшено за время t от М, до MQ мест.
Тренд спада можно трактовать следующим образом: если не вводить новые места, не реорганизовывать производство для выпуска новой продукции и не завоевывать рынок, то сумма ин вестиции будет направлена на потребление, на выплату посо бий по безработице и другие непроизводственные нужды. При таком «нерациональном» использовании инвестиции величина x(t) превращается в тренд спада x^(t). Соответствующая функ ция этого тренда - это затухающая экспонента, определяемая по формуле:
Математический инструментарий в управлении проектами 303
суммы J
><]^^^|^^NNf^
О 10 30 |
70(m=3) |
г, дни |
t, дни
Рис. 5.3. Вид входной (а) и выходной (б) функций процесса реализации инвестиционного проекта
304 Глава 5
|
|
х,(/) = A{t)Mit) = flo+(а 1 - ао)е~*"'. |
где 6Q |
- |
интенсивность сокращения «старого» производства; |
A(t) |
- |
неизвестная функция изменения производительности одно |
M(t) |
- |
го места в к раз; |
неизвестная функция изменения числа старых рабочих мест |
с Л/, до Л/ц;
aQ=A^kMQ - предельное значение объема «старого» производства в еди
ницу |
времени, |
если на фирме оставить только A/Q мест и |
|
на этом прекратить реорганизацию; |
|||
a^=A^M^ - объем производства в единицу времени до начала реорга |
|||
низации. |
|
||
Для определения Ь^ возьмем производную x^(t) справа от точ |
|||
ки г=0: |
|
|
|
dx^it) |
|
--Ьо(а\-ао). |
|
dt ,_^о+ ' |
dt |
||
dt |
|||
Далее справедливо допускаем, что каждое место сокращает ся независимо от другого места, т.е. ведется индивидуальная ра бота. Это означает, что поток соответствующих событий на отрезке [О, Н стационарен, ординарен и в нем отсутствует после действие. Предположим, что производительность реорганизуе мых рабочих мест также увеличивается равномерно на этом же отрезке.
Таким образом, за одну дискретную единицу времени Т мы имеем следующие элементарные изменения:
1)производительность Ait) изменяется с уровня У4, ДО уровня
2)количество старых рабочих мест теряется (с пересчетом их
производительности в к раз) на к (М^- М^) единиц. Выполнив подстановки, в первом приближении получим
h h
откуда следует соотношение:
^0 = 1/ ip , день-'.
Математический инструментарий в управлении проектами 305
Тренд роста. Основная часть инвестиции направляется на со здание нового производства, выпуска новой продукции и завое вание рынка. В процессе реорганизации за время переходного процесса остается только MQ старых мест и создается Mj прин ципиально новых мест, средняя производительность которых по завершении реорганизации станет А2 . Кроме того, для нового производства может потребоваться до М^ фирм-субподрядчиков, необходимых для выпуска новой продукции. Средняя произво дительность субподрядчика в интересах нашей фирмы равна А^.
Если отбросить из рассмотрения другие обстоятельства, то тренд роста Х2(г) имеет вид
X2(t) = A{t)M{t)+B(t)N(t) = {а2-ао)[1 -е"*''] .
где b^ |
- |
интенсивность наращивания «нового» производ |
A(t) |
- |
ства; |
функция изменения производительности одного |
||
M{t) |
- |
нового места; |
функция изменения количества новых мест; |
||
B(t) |
- |
производительность фирмы-субподрядчика; |
Л^(/) |
- |
производительность фирмы-субподрядчика; |
а^=А^кМд; |
|
|
02=^2^2 ''" ^Ив |
~ объем нового производства в единицу времени |
|
|
|
за счет созданных новых мест и привлечения фирм- |
|
|
субподрядчиков. |
Для определения Ь^ возьмем производную XjCO справа от точ ки f=0. Полагаем, что после создания нового места У4(0=^2 ^ ^°^' ле привлечения фирмы-субподрядчика B(t)=A^. После этого по лучим
dx2(t) |
|
\dM{t) |
dN{t) |
= |
-bi(.a2~ao) |
|
dt |
t-^o+ |
{ dt |
dt |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Сделав соответствующие подстановки, в первом приближе нии имеем
tр |
tр |
или
306 |
|
|
|
|
Глава 5 |
|
|
|
1- |
AikMo |
n-l |
|
|
bi^ |
p |
|
|
|||
AiMi+AsMs /J |
день" |
|||||
0 |
|
|||||
|
при AikMo = A2M2 + AsMs |
|
||||
Отметим следующую особенность: если производство реор ганизовано на 100 %, то Л/д=0, поэтому 6,=1//.
Тренд временной выгоды (адаптации). Адаптация управления дает двойной эффект при освоении инвестиций. Во-первых, адап тация позволяет более эффективно использовать суммы инвести ций. Во-вторых, часть риска неудачи при освоении инвестиций может быть переложена на другие организации, что приводит к снижению риска.
Тренд временной выгоды в первом приближении имеет вид
хз(0 = б2^е-*", |
(5.1) |
где *2 - коэффициент роста интенсивности (или «ускорение» получения финансовых результатов).
5.2.4. ВЫБОР ВАРИАНТА ОСВОЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЙ
Рассмотрим механизм получения двойного эффекта при ос воении инвестиций. Учтем обстоятельства, способствующие на личию различных вариантов использования денежных (и других) средств во время ПРИП:
•из вьщеленных инвестиционных сумм не все средства мгно венно начинают «работать» на проект;
•периодически возникают средства, свободные на короткие интервалы времени (существенно меньще /J.
Более полное использование вьщеленных средств возможно только при реализации дополнительных альтернативных реше ний, которые инвестор должен оперативно принимать (т.е. адап тивно выбирать варианты):
• давать деньги в качестве ссуды (предоставлять кредит) под проценты на короткие периоды времени Т;
Математический инструментарий в управлении проектами 307
•помещать деньги на депозитный счет в банк для получения прибыли;
•участвовать самостоятельно или совместно с другими фир мами в краткосрочных коммерческих сделках, приносящих при быль.
Каждый из этих вариантов перекладывает часть риска неудач ного освоения инвестиций на другую организацию, которая по лучает на некоторое время часть денег и несет ответственность за возвратную сумму, равную сумме предоставленных ей средств плюс полученные дополнительные средства (прибыль). Далее для определенности будем полагать, что временно неиспользуемые остатки средств предоставляются в виде ссуды надежным орга низациям.
Сумма инвестиций, выделяемых инвестором и поступивших на счета объекта инвестирования на интервале дискретности (0,т), равна V . Различные варианты освоения вьщеленных фирме ин вестиции показаны на рис. 5.4.
Выделенные средства могут потребляться различными тем пами. На рис. 5.4а показаны два крайних варианта, которые на практике маловероятны:
•вьщеленные средства сразу, в течение одного дня исполь зуются по прямому назначению (вертикальный прямоугольник 1 площадью V , толстая линия);
•выделенные средства в течение периода t равномерно рас ходуются по прямому назначению (горизонтальный прямоуголь ник 4 площадью V , толстая линия). В этом варианте в течение длительного времени значительные суммы не используются, хотя
инаходятся в распоряжении фирмы.
Наиболее реален некий промежуточный вариант (ступенча тая фигура 3 площадью V , точечное заполнение), при котором темп потребления денег максимальный на ранних стадиях освое ния инвестиций, а затем темп снижается (но и неиспользуемых средств на более поздних стадиях становится мало). Такой вари ант реализуется при хорошем предварительном бизнес-планиро вании. Однако и в этом случае в течение некоторого времени имеются неиспользуемые денежные суммы.
Промежуточный вариант 3 аппроксимируем в виде тренда 2, который изображен гладкой линией. Учитывая, что освое ние средств (наращивание новых мощностей фирмы) идет с
308 |
Глава 5 |
s(t),
доля
z
'.дни
Рис. 5.4. Освоение выделенных инвестиций: а - возможные варианты темпов освоения инвестиций; б - освоение вьщеленных инвестиций
Математический инструментарий в управлении проектами 309
интенсивностью b^, этот тренд можно представить в виде экс поненты:
vC0 = Fp6ie-'"'.
Несложно проверить, что сумма инвестиций равна интегралу
оо
Fp = jv (О dt .
о
Остаток неиспользуемых средств инвестиций описывается
выражением |
|
s(t)^Vp-jvit)dt=Vpe-^'' |
• |
о |
|
Вид графика s(t) показан на рис. 5.4, б в виде гладкой сплош ной линии.
Рассмотрим рис. 5.4, б. Предположим, что мы решили выде лять ссуды другим организациям на короткие периоды времени Г> т под проценты. По истечении интервала Г ссуда возвраща ется вместе с платой за кредит. Введем в рассмотрение коэффи циент Р, который показывает, какая часть от вьщеленной ссуды начисляется за каждый день ее использования (Р легко пересчитывается из процентов годовых и имеет размерность день'^). Дру гими словами, коэффициент Р - это размер платы за кредит в долях от этой суммы за день.
Например, если предоставить ссуду 100 тыс. долл. на 30 дней, а /'=0,01, день'^, то возвратная сумма будет равна
100 (1+РТ) = 100 (1+0,30)= 130 тыс. долл., где РТ=0,30 - безразмерная величина.
Возможны следующие два варианта работы с неиспользуе мыми средствами (в действительности таких вариантов может быть довольно много):
1) плата за предоставленную ссуду каждый раз относится к финансовым результатам (к прибыли, подлежащей дальнейшему распределению по статьям баланса) и вторично не участвует в последующих вьщелениях ссуд;
2) дополнительные средства, полученные в качестве платы за ссуду, сразу участвуют в последующих вьщеляемых ссудах.
310 |
Глава 5 |
Стандартные формулы финансовой математики для обоих вариантов неприменимы.
Вариант 1. Вид тренда временной выгоды получим с помо щью следующей итерационной процедуры.
Э т а п 1. В момент времени 1^=0 можно полагать, что в тече ние Г дней нам не потребуется сумма
s(ti) = Vpe:-п,
т.е. это временно свободные деньги.
По истечении интервала Гбудем располагать этой возвращен ной суммой плюс плата за ссуду:
Сумму s(t^) далее будем использовать, а полученную плату si = VpPTe-^^i
отнесем к финансовым результатам.
Э т а п 2. В момент времени г,=Г можно полагать, что по истечении следующих Т дней нам не потребуется сумма
По истечении второго интервала Т нам вернут сумму
s\t2) = Vp(l + PT)e-^^t>i .
Сумму sitj) далее будем использовать по прямому назначе нию, а полученную плату
52 = ГрРГе-2^*1
отнесем к финансовым результатам.
Этап 3. В момент времени /2=27' можно полагать, что по истечении следующих Т дней нам не потребуется сумма