Оптимальные иерархические структуры - Воронин А.А., Мишин С.П

Стоимость последовательной организации одинакова для любого β (см. п.2). Поэтому при приближении к “критической точке” (максимально возможному количеству уровней иерархии) все кривые сходятся в одну точку (рис. 5.6 справа).

При β < 1 функционал (I) вогнут. То есть последовательная организация, вообще говоря, неоптимальна даже в статике.

При минимальном β = 0,25 вогнутость “ярко выражена”:

минимальна стоимость функционирования веерной организации, даже несмотря на то, что группы набора весьма существенно пересекаются (создание промежуточных групп не оправдано). Таким образом, кривая P(Ψl ) возрастает при увеличении

количества уровней иерархии l от 1 до 11 (см. рис. 5.6 нижняя линия). Так как l =1 доставляет также минимум второй части результата управления ρ(Ψl ) (см. рис. 5.4), то в этом случае

lopt = 1 при любой скорости изменения внешней среды.

При β = 0,5 введение промежуточного уровня иерархии уже дает выигрыш (промежуточные группы используются для

организация. То есть минимум P(Ψl ) достигается в “критической

β кривая P(Ψl ) более ”круто” возрастает при приближении l к 1, сохраняя свой монотонный характер.

Втаблице 5.1 приведены значения lopt в зависимости от s и

β. В связи с их целочисленностью соответствующие кривые зависимости lopt от s , изображенные на рис. 5.7, имеют доста- точно много общих участков. Чтобы не загромождать рисунок, приведены только четыре кривые при β = 0,25; 0,5; 0,95;2.

202

При “ярко выраженной” вогнутости функционала ( β = 0,25) “сложная” организация с несколькими уровнями иерархии в принципе не выгодна, даже при постоянной внешней среде. Содержательно это можно интерпретировать, например, следующим образом. Уровень развития “организационных отношений” в системе таков, что наиболее эффективна ”стихийная” организацию исполнителей для выполнения каждой конкретной работы под руководством одного “управляющего звена” (веерная организация).

При ослаблении вогнутости ( β = 0,5) “в статике” становится выгодным введение двух уровней управления, при которых минимизируется первая часть результата P(Ψl ) (см. рис. 5.6). При s < 0,9 выполнено lopt = 2 , то есть такая структура управления оптимальна и в динамике (см. таблицу 5.1). При максимальной

скорости изменения внешней среды оптимальна веерная организация.

При дальнейшем ослаблении вогнутости ( β = 0,75) в достаточно стабильной ситуации (s ≤ 0,3) становятся выгодными более сложные структуры управления (см. таблицу 5.1). Здесь “эффект” от координации взаимодействия исполнителей

204

промежуточными звеньями уже превосходит “дороговизну” функционирования самих промежуточных звеньев.

Стоимость функционирования промежуточных звеньев уменьшается (относительно общего результата) при дальнейшем увеличении β ( β = 0,95), что при стабильной внешней среде

делает выгодной уже последовательную организацию с максимальным количеством уровней иерархии (см. таблицу 5.1).

При β ³ 1 стоимость функционирования P становится

существенно выпуклой, и организация с максимальным

количеством уровней иерархии будет оптимальной не только при минимальных изменениях внешней среды, но и при больших s (см. таблицу 5.1). То есть по мере ”усиления выпуклости” возрастает “сопротивляемость” организации внешним изменениям и упрощение (“деградация”) происходит при более сильных внешних изменениях (см. рис. 5.7, 5.8 и таблицу 5.1). Содержательно это можно интерпретировать, например, следующим образом. Уровень развития “организационных отношений” в системе достаточно высок, чтобы успешно

противостоять нестабильности внешней среды за счет высокой эффективности системы управления, не допуская упрощения (“деградации”) организации.

Взаключение главы кратко охарактеризуем полученные результаты. Построенная в §1 метрика на множестве графов

организации также определена на произвольных ориентированных графах. Но для графов, отличных от графов организации, необходима содержательная интерпретация метрики. Разумеется, введенная метрика (стоимость реорганизации) не исчерпывает все возможные варианты метрики на множестве структур.

В§2 введено понятие внешней среды, которая в каждый момент определяет, какой набор групп должен быть организован.

Под структурой понимается граф организации заданного внешней средой набора групп. Управление структурой определено как

произвольное отображение текущей структуры и известной информации об изменении внешней среды в новую структуру (структуру на следующем шаге). Результат управления – суммарные затраты на функционирование (функционал стоимости) и на реорганизацию (в смысле метрики §1) – минимален при оптимальном управлении. Введенное понятие

205

оптимального управления структурой остается неизменным при замене стоимости реорганизации любой другой метрикой. Таким образом, оптимальное управление определено достаточно общо.

l -управления на одном из примеров функционала. Анализируется

зависимость оптимального управления от параметра функционала (степени развития “организационных отношений”) и скорости изменения внешней среды, определенной как число вновь появляющихся групп в единицу времени. Результаты расчетов показывают, что построенная модель структурных изменений “улавливает” некоторые тенденции, наблюдаемые “на практике”. Этот факт позволяет надеяться, что в дальнейшем разработанный

аппарат оптимизации иерархических структур может быть использован при моделировании структуры реальных организационных систем.

206

Заключение.

Подводя итоги книги, кратко изложим основные результаты и выводы. Поставленная в начале работы общая задача поиска структуры (ориентированного ациклического графа), оптимальной в смысле произвольного критерия, для структурного функционала сведена к задаче на множестве графов организации (см. §2 гл. I). В §1 главы I требование структурности анализируется с содержательной точки зрения. Далее рассмотрена задача на множествах графов организации заданного набора групп. Доказана оптимальность дерева для монотонного функционала стоимости, 2-организации – для выпуклого функционала, веерной организации – для вогнутого функционала, последовательной организации – для существенно выпуклого функционала

(см. §3 гл. I).

В главе II различные частные задачи: оптимальная организация технологического взаимодействия элементов, построение оптимального алфавитного кода, построение

оптимальной структуры управления сетью доставки материальных потоков и др. сформулированы в терминах задачи оптимизации иерархической структуры. Предложены методы поиска

оптимальной структуры организационной системы для ряда функционалов затрат на ее управление. Примеры функционалов

предложены исходя из количественного описания стоимости организации взаимодействия людей в группе, которое на

качественном уровне рассмотрено в различных работах по менеджменту. Полученные результаты схематично представлены на рис. 2.5-2.8. Видно, что в зависимости от параметров функционала оптимальны организации различного вида. В некоторых областях оптимальна 2-организация с максимальным числом управляющих центров (функционал – выпуклый), в других, напротив, оптимальна веерная организация одной группы

– один управляющий центр (функционал – вогнутый). В

некоторых областях свойство выпуклости усиливается и оптимальна последовательная организация – частный случай 2-организации (функционал – существенно выпуклый). Наиболее

интересными с содержательной точки зрения являются области параметров, в которых функционалы не являются ни выпуклыми, ни вогнутыми (белые области на рис. 2.6-2.8). Найденные алгоритмами главы III деревья подтверждают сложность

207

поведения оптимальной организации в этих областях (в частности,

позволяют выдвинуть гипотезу существования областей оптимальности r -организации для любого r ³ 2). По-видимому, в

данных областях функционалы могут описывать структуру реальных организационных систем.

Вглавах III и IV для структурного функционала общего вида

доказано отсутствие полиномиальных алгоритмов поиска оптимального дерева организации одной группы и поиска оптимальной последовательной организации произвольного набора групп, построены алгоритмы экспоненциальной сложности. Для одного класса функционалов построены полиномиальные алгоритмы. Предложены эвристические алгоритмы, проведено тестирование их точности. Данные главы по

отношению к исследуемой задаче оптимизации структуры носят инструментальный характер, то есть позволяют создавать программы поиска оптимальных структур. Результаты работы

упомянутых программ часто оказываются полезными при доказательстве аналитических результатов по поводу вида оптимальной структуры для исследуемого функционала.

Вглаве V построена динамическая модель структурных

изменений организационной системы в ответ на изменения внешней среды. Предложена методика численного поиска управления, минимизирующего суммарные затраты на функционирование (функционал стоимости) и реструктуризацию (заданную метрику на множестве структур). Определены

зависимости оптимального числа уровней иерархии от скорости изменения внешней среды и параметра функционала.

Проведенные расчеты подтверждают наблюдаемую на практике закономерность: при жестких (интенсивных) внешних изменениях выгодно поддерживать простую (веерную) структуру системы, усложняя ее по мере смягчения внешних воздействий (увеличивая число уровней иерархии). Качественно это соответствует тому, что в нестабильной внешней среде могут “выживать” лишь организационные системы с максимально простой структурой за счет приспособляемости, в стабильной же среде, наоборот, доминируют системы со сложной иерархической структурой за счет высокой эффективности. Кроме того, по мере

увеличения параметра функционала β (развития “организа- ционных отношений”) увеличивается оптимальное количество

208

уровней иерархии (за счет высокой эффективности система успешно “противостоит” более сильным внешним изменениям, не допуская упрощения (“деградации”)).

В заключение приведем актуальные, на наш взгляд, направления дальнейших исследований.

1. Изучение бесконечных иерархий, неструктурных функционалов стоимости, множеств графов, отличных от рассмотренных в книге. Данное направление диктуется, во- первых, логикой математического исследования, а во-вторых,

известными моделями иерархий с неструктурными функционалами (см. п.п. 4, 5 §2 гл. II).

2. Поиск аналитических условий оптимальности r -организации для r > 2 и структурного функционала, не являющегося ни выпуклым, ни вогнутым. В книге

проанализированы в некотором смысле предельные случаи выпуклых и вогнутых функционалов, соответствующие

максимуму и минимуму управляющих центров в оптимальной организации. По-видимому, большинство реальных

организационных систем не описываются ни одним из этих крайних случаев, то есть им как раз соответствуют функционалы, не являющиеся ни выпуклыми, ни вогнутыми.

3.Исследование различных управлений структурными изменениями организационной системы (отличных от l -усечений).

Включение задачи управления структурой в состав общей задачи управления организационной системой.

4.Исследование “непрерывных” процессов или “траекторий” структурных преобразований, в том числе процессов пошагового перехода к оптимальной структуре. Здесь появляется большое количество чисто динамических задач, например, выяснение условий, при которых локально оптимальные перестроения в подсистемах приводят к глобально оптимальной структуре. В таких динамических задачах ключевым является теоретико-

игровое моделирование взаимодействия структурных элементов системы, каждый из которых оптимизирует свою целевую функцию, проводя локальное перестроение структуры по своей “инициативе”.

209

Литература.

1.Айзерман М.А., Гусев Л.А., Петров С.В. и др. Динамические подходы к анализу структур, описываемых графами (основы графодинамики). Часть 1 // Автоматика и телемеханика. 1979.

№7. С. 135–151.

2.Айзерман М.А., Гусев Л.А., Петров С.В. и др. Динамические подходы к анализу структур, описываемых графами (основы графодинамики). Часть 2 // Автоматика и телемеханика. 1979.

№9. С. 123–136.

3.Базилевич Л.А. Обоснование нормативов управляемости на модели трудоемкости руководства. – В кн.: Повышение

эффективности управления объединениями и отраслями промышленности. Новосибирск, 1977.

4.Браверман Э.М., Дорофеюк А.А., Лумельянский В.Я. и др.

Диагонализация матрицы связей и выявление скрытых факторов. – В кн.: Проблемы расширения возможностей автоматов. Вып. 1. М., 1971.

5.Бурков В.Н., Кондратьев В.В. Механизмы функционирования организационных систем. М.: Наука, 1981.

6.Бурков В.Н. Основы математической теории активных систем.

М.: Наука, 1977.

7.Бурков В.Н., Заложнев А.Ю., Новиков Д.А. Теория графов в управлении организационными системами. М.: Синтег, 2001.

8.Бурков В.Н., Новиков Д.А. Теория активных систем и задачи организационного управления / Труды международной научно- практической конференции «Теория активных систем». Москва:

ИПУ РАН, 19–21 ноября 2001. Том 1. С. 12–16.

9.Бурков В.Н., Новиков Д.А. Теория активных систем: состояние

иперспективы. М.: Синтег, 1999.

10.Власюк Б.А., Моросанов Н.С. Синтез иерархической структуры управления в больших системах // Автоматика и телемеханика. 1973. №3.

11.Воронин А.А. Устойчивое развитие – миф или реальность? // Математическое образование. 2000. №1(12). С. 59–67.

12.Воронин А.А., Мишин С.П. Алгоритмы поиска оптимальной структуры организационной системы // Автоматика и телемеханика. 2002. №5. С. 120–132.

210