Оптимальные иерархические структуры - Воронин А.А., Мишин С.П
.pdfЛемма 5.1. Если для всех a N выполнено ρ′(a) > 0 и ρ′′(a) > 0, то для любых групп g, h F { } выполнена первая
аксиома метрики: равенство ρ(g, h) = 0 эквивалентно равенству |
|
g = h. |
ρ(g, h) = åa g\h ρ′(a) + åa h\g ρ′′(a) = 0 |
Доказательство. |
тогда и только тогда, когда g \ h = и h \ g = (в силуρ (a) > 0 , |
||||||
|
|
|
|
′ |
|
|
ρ (a) > 0), что эквивалентно условию g = h. Лемма доказана. |
|
|||||
′′ |
|
|
|
|
|
|
Лемма 5.2. Если для всех a N |
выполнено ρ (a) = ρ (a) = |
|||||
|
|
′ |
|
|
′′ |
|
= ρ(a) , то для любых групп g, h F { } |
выполнена |
вторая |
||||
аксиома метрики (симметричность): ρ(g, h) = ρ(h, g). |
|
|
|
|
||
Доказательство.ρ(g,h) = åρ(a)+ åρ(a) = åρ(a)+ åρ(a) = |
||||||
a g\h |
a h\g |
a h\g |
a g\h |
|
||
= ρ(h, g). Лемма доказана. |
|
|
|
|
|
|
Лемма 5.3. Для любых групп |
f , g, h F { } |
выполнено |
||||
неравенство треугольника: ρ( f , h) ≤ ρ( f , g) + ρ(g, h). |
|
|
|
|
||
Доказательство.Имеем (*) ρ( f ,h) = å |
′ |
å |
|
|
′′ |
|
ρ (a) + |
|
ρ (a), |
||||
|
a f \h |
|
a h\ f |
|
|
(**) ρ( f , g) + ρ(g, h) = åa f \ g ρ′(a) + åa g \ f ρ′′(a) + åa g \h ρ′(a) + + åa h\ g ρ′′(a). Рассмотрим a f \ h. Имеем a f , a h. Слага- емое ρ′(a) входит в выражение (*). Если a g , то a g \ h . Если a g , то a f \ g . В обоих случаях слагаемое ρ′(a) также входит в выражение (**). Рассмотрим a h \ f . Имеем a f , a h. Слагаемое ρ′′(a) входит в выражение (*). Если a g , то a g \ f . Если a g , то a h \ g . В обоих случаях слагаемое ρ′′(a) также входит в выражение (**). Итак, каждое слагаемое, входящее в левую часть неравенства ρ( f , h) ≤ ρ( f , g) + ρ(g, h), входит и в правую его часть. Лемма доказана.
|
Утверждение 5.1. |
Если для |
всех a N выполнено |
ρ (a) = ρ (a) = ρ(a) > 0, |
то стоимость |
реорганизации является |
|
′ |
′′ |
|
|
метрикой на множестве групп F { }.
171
Доказательство следует из лемм 5.1-5.3. Утверждение доказано.
2. Стоимость реорганизации наборов групп.
В данном пункте на основании метрики на множестве групп, построенной в пункте 1, строится метрика на множестве наборов групп.
Определение 5.2. Стоимостью реорганизации произвольного
набора групп Q 1 |
в |
набор групп Q |
2 |
будем называть величину |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ(Q1 |
,Q2 ) = min å |
|
ρ(gi , hi ) , где |
|
k = max( |
|
Q1 |
|
, |
|
Q2 |
|
), набор |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
||||||||||||
|
i=1,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
меньшей мощности дополнен пустыми группами до мощности k , минимум берется по всевозможным разбиениям наборов Q1 и Q2
на пары (gi , hi ), i = 1, k . Если Q1 – пустой набор, то величину ρ( ,Q2 ) назовем стоимостью организации набора Q2 “с нуля”. Если Q2 – пустой набор, то величину ρ(Q1, ) назовем стоимостью деорганизации набора Q1.
Задача о поиске разбиения на пары минимальной суммарной стоимости является задачей о назначениях. Таким образом, стоимость реорганизации эффективно вычисляется. Методы решения задачи о назначениях приведены, например, в работе [7].
Поясним определение. Предположим, что необходимо реорганизовать некоторый набор (множество) групп Q1 в набор Q2 . Рассмотрим две группы: g Q1 и h Q2 . Затраты на деорганизацию g и последующую организацию h “с нуля” составят ρ(g, ) + ρ( , h) . Затраты на непосредственную реорга- низацию g в h составят ρ(g,h) . Второй способ предпочтительнее в силу неравенства ρ(g, h) ≤ ρ(g, ) + ρ( , h) (см. лемму 5.3). Поэтому для реорганизации Q1 в Q2 разбиваем эти наборы на пары (g, h) Q1 × Q2 и реорганизуем g в h . Если Q1 < Q2 , то оставшиеся после разбиения на пары группы набора Q2 организуем “с нуля”. А если Q1 > Q2 , то оставшиеся группы
1 Набор групп Q – некоторое множество групп, в частности пустое. Q –
количество групп в наборе (мощность). В наборе могут быть одинаковые (повторяющиеся) группы.
172
набора Q1 деорганизуем. Таким образом, набор с меньшей
мощностью дополняем пустыми множествами до достижения мощности другого набора. Разбивая полученные наборы на пары и
суммируя стоимость реорганизации первой группы пары во вторую, получим стоимость реорганизации набора Q1 в набор Q2 . Разбиение на пары производим таким образом, чтобы стоимость реорганизации была минимальна. Если Q1 – пустой набор, то получим стоимость организации набора Q2 “с нуля” (или сумму стоимостей организации всех групп набора “с нуля”), если Q2 – пустой набор, то получим стоимость деорганизации набора Q1 (или сумму стоимостей деорганизации всех групп набора).
Лемма 5.4. Добавление к любому из наборов групп Q1, Q2
произвольного |
числа |
пустых |
множеств |
не |
|
меняет |
значения |
||||||||||||
ρ(Q1,Q2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Доказательство. Обозначим k1 = |
|
Q1 |
|
, k2 = |
|
Q2 |
|
, k = max(k1,k2 ). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
При вычислении ρ(Q1,Q2 ) к Q1 добавляется |
k − k1 |
пустых |
|||||||||||||||||
множеств, к Q2 добавляется k − k2 |
пустых множеств. Обозначим |
||||||||||||||||||
полученные после добавления |
наборы через |
¢ |
|
¢ |
|||||||||||||||
|
Q1 |
и Q2 . Далее |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¢ |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
выбираются |
пары |
|
|
|
i = 1, k |
так, |
чтобы |
||||||||||||
(gi , hi ) Q1 |
× Q2 , |
||||||||||||||||||
å |
|
ρ(gi , hi ) |
была минимальна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
i=1,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Добавим к одному из наборов Q1, Q2 пустые множества. Обозначим мощность полученного набора через k′′. Если k′′ £ k ,
то при вычислении ρ(Q1,Q2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
¢ |
||||||||
снова получим наборы Q1 |
и Q2 , то |
|||||||||||||||||||||
есть не изменим ρ(Q1,Q2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Если k′′ > k , |
то при вычислении ρ(Q1,Q2 ) |
получим наборы |
||||||||||||||||||
¢¢ |
|
|
|
¢¢ |
|
′′ |
получается из |
¢ |
|
добавлением k |
′′ |
- k |
пустых |
|||||||||
Q1 |
|
и Q2 , |
где Q j |
Qj |
|
|
|
|||||||||||||||
множеств, |
j = 1, 2. Наборы |
¢¢ |
|
¢¢ |
|
можно разбить |
на |
пары |
||||||||||||||
Q1 |
|
и Q2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
¢ |
|
следующим образом: сохраним разбиение наборов Q1 и Q2 , |
||||||||||||||||||||||
оставшиеся |
пары |
состоят |
из |
пустых |
множеств. |
|
Учитывая |
|||||||||||||||
ρ( , ) = 0, |
получим, |
что |
|
|
¢¢ |
|
¢¢ |
¢ |
¢ |
|
= ρ(Q1 |
,Q2 ). |
||||||||||
ρ(Q1,Q2 ) ≤ ρ(Q1 |
,Q2 ) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢¢ |
¢¢ |
|
|
|
|
|
|
¢¢ |
¢¢ |
||
Рассмотрим разбиение наборов Q1 и Q2 |
на пары (gi , hi ) Q1 |
× Q2 , |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i = |
1,k |
|
|
|
= |
åi=1,k′′ ρ(gi , hi ). Если в нем есть |
||||||||||||||||
|
, при котором ρ(Q1 |
,Q2 ) |
||||||||||||||||||||
две пары вида (g, ), ( , h), |
g ¹ Æ , |
h ¹ Æ , |
то переформируем их |
173
в пары (g,h), ( , ). При таком разбиении снова получим ρ(Q′′,Q′′),
1 2
так как сумма не увеличилась в силу ρ(g, h) ≤ ρ(g, ) + ρ( , h) (см. лемму 5.3), ρ( , ) = 0. Повторяя такие действия, получим в результате разбиение, в котором нет двух пар вида (g, ), ( , h).
Такое разбиение может быть получено из некоторого разбиения
′ |
и |
′ |
добавлением пар, состоящих |
из |
пустых |
|
наборов Q1 |
Q2 |
|||||
множеств. Таким |
|
′ |
′ |
′′ |
′′ |
|
образом, ρ(Q1,Q2 ) = ρ(Q1 |
,Q2 ) ≤ ρ(Q1,Q2 ). То |
|||||
|
|
′′ |
′′ |
|
|
|
есть ρ(Q1,Q2 ) = ρ(Q1,Q2 ). Лемма доказана. |
|
|
|
Лемма 5.5. Если для любых групп f и g выполнена первая аксиома метрики, то и для любых наборов непустых групп Q1 и Q2 также выполнена первая аксиома метрики: равенство ρ(Q1,Q2 ) = 0
эквивалентно равенству Q1 = Q2 . |
||||||||
|
|
|
Доказательство. |
ρ(Q1,Q2 ) = 0 тогда и только тогда, когда |
||||
|
Q1 |
|
= |
|
Q2 |
|
= k , так как |
иначе добавляются пустые множества, а |
|
|
|
|
ρ(g, ) > 0 и ρ( , h) > 0 для любых непустых групп g и h . Далее
имеем ρ(Q1 |
,Q2 ) = min å |
|
ρ(gi , hi ) = 0 тогда и только тогда, |
|
|||
|
i=1,k |
|
когда наборы Q1 и Q2 разбиваются на пары (gi , hi ) , для которых ρ(gi , hi ) = 0, то есть на пары одинаковых множеств, что возможно лишь при Q1 = Q2 . Лемма доказана.
Лемма 5.6. Если для любых групп выполнена вторая аксиома метрики, то и для любых наборов групп Q1 и Q2 также выполнена вторая аксиома метрики (симметричность): ρ(Q1,Q2 ) = ρ(Q2 ,Q1 ).
Доказательство. Добавим пустые множества так, чтобы наборы Q1 и Q2 содержали одинаковое количество k множеств.
Тогда имеем ρ(Q1,Q2 ) = min åi=1,k ρ(gi , hi ) = min åi=1,k ρ(hi , gi ) = = ρ(Q2 ,Q1) . Лемма доказана.
Лемма 5.7. Для произвольных наборов групп Q1, Q2 , Q3
выполнено неравенство треугольника:ρ(Q1,Q3) ≤ ρ(Q1,Q2) + ρ(Q2,Q3). Доказательство. Обозначим k = max(Q1 , Q2 , Q3 ). Добавим
к Q1, Q2 , Q3 пустые множества так, чтобы k = Q1 = Q2 = Q3 . По лемме 5.4 это не изменит величин ρ(Q1,Q3 ), ρ(Q1,Q2 ), ρ(Q2 ,Q3 ) .
174
Предположим, что ( fi , gi ), i = 1, k – разбиение множеств Q1 и Q2
на пары, которое соответствует значению |
ρ(Q1,Q2 ), а (gi , hi ), |
||
i = |
|
– разбиение множеств Q2 и Q3 |
на пары, которое |
1, k |
соответствует значению ρ(Q2,Q3), тогда имеем: ρ(Q1,Q2)+ ρ(Q2,Q3) =
= åi=1,k [ρ( fi , gi ) + ρ(gi ,hi )] ³ åi=1,k ρ( fi ,hi ) ³ ρ(Q1,Q3), где послед-
нее неравенство выполнено в силу того, что ρ(Q1,Q3 ) соответст- вует разбиению наборов групп Q1 и Q3 на пары с минимальной суммарной стоимостью реорганизации. Лемма доказана.
|
Утверждение 5.2. |
Если для |
всех a N выполнено |
ρ (a) = ρ (a) = ρ(a) > 0, |
то стоимость |
реорганизации является |
|
′ |
′′ |
|
|
метрикой наборах непустых групп.
Доказательство. По утверждению 5.1 стоимость
реорганизации любых групп удовлетворяет первой и второй аксиомам метрики и неравенству треугольника. По леммам 5.5-5.7 этого достаточно для того, чтобы те же свойства выполнялись для любых наборов непустых групп. Утверждение доказано.
3. Стоимость реорганизации графов.
Определение 5.3. Для произвольных ориентированных
графов G1 = (V1, E1) и G2 = (V2 , E2 ), вершины которых являются группами (V1,V2 F { }), стоимостью реорганизации G1 в G2
назовем величину ρ(G1 |
,G2 ) = min å |
|
ρ(QG (gi ),QG |
2 |
(hi )),1 |
где |
|
||||||
|
i=1,k |
1 |
|
|
k = max(V1 , V2 ) , множество вершин меньшей мощности дополне-
но изолированными вершинами до мощности k , минимум берется по всевозможным разбиениям множеств V1 и V2 на пары (gi , hi ) ,
i = |
|
. |
Если |
G1 = ( , ) – пустой граф, |
то величину ρ( ,G2 ) |
|
1, k |
||||||
назовем |
стоимостью организации графа |
G2 “с нуля”. Если |
||||
G2 = ( , ) |
– пустой граф, то величину ρ(G1, ) назовем |
|||||
стоимостью деорганизации графа G1. |
|
|||||
|
|
|
||||
1 Через QG (g) |
обозначено множество (набор) вершин, которые непосредственно |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
подчинены g , то есть из которых идут ребра в g в графе G1 . Аналогично QG2 (h)
– вершины, непосредственно подчиненные h в G2 .
175
Задача о поиске разбиения на пары минимальной суммарной стоимости является задачей о назначениях (см., например, [7]).
Таким образом, стоимость реорганизации эффективно |
||
вычисляется. |
G1 = (V1, E1) O(N) |
|
Поясним определение. Пусть |
и |
|
G2 = (V2 , E2 ) O(N) – графы организации над некоторым множ- |
||
еством элементов N (см. опр. 1.19). Предположим, что G1 необ- |
||
ходимо реорганизовать в G2 . Рассмотрим вершины g V1 \ NG |
и |
|
|
1 |
|
h V2 \ NG . Они организуются из наборов подгрупп QG (g) |
и |
|
2 |
1 |
|
QG (h) |
соответственно. Необходимо некоторым образом “пере- |
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
(g) в звено |
Z |
|
(h).1 Для подгрупп h Q |
|
(g) |
||
строить” звено Z |
G |
G |
G |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
и h2 QG (h) |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
проделаем следующее: |
освободим (деорганизуем) |
|||||||||||
|
2 |
h1 \ h2 от участия в группе g , а затем привлечем |
||||||||||
элементы из |
||||||||||||
(организуем) элементы из h2 \ h1 |
к участию в группе h . Аналоги- |
|||||||||||
чно поступаем и |
с другими |
парами |
групп из QG (g) ×QG (h). |
|||||||||
Минимальная |
|
|
стоимость |
таких |
1 |
|
2 |
|
||||
|
|
перестроений |
составит |
|||||||||
ρ(QG (g),QG (h)) |
|
(см. опр. 5.2). Стоимость освобождения |
всех |
|||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элементов от участия в g и привлечения к участию в h составит
ρ(QG1 (g), ) + ρ( ,QG2 (h)) , что не меньше ρ(QG1 (g),QG2 (h)) в
силу неравенства треугольника (см. лемму 5.7).
Таким образом, для реорганизации G1 в G2 разобьем множества V1 и V2 на пары (g,h) V1 ×V2 и реорганизуем QG1 (g) в
QG2 (h) . Если V1 < V2 , то оставшиеся после разбиения на пары группы V2 организуем “с нуля” из соответствующих подгрупп. А если V1 > V2 , то для оставшихся групп V1 “разрушим” их организацию из подгрупп. Таким образом, одно из множеств V1 или V2 дополняем изолированными вершинами до достижения
мощности другого. Разбивая полученные множества вершин на
пары и суммируя стоимость реорганизации соответствующих наборов подгрупп, получим стоимость реорганизации графа G1 в
1 Звено состоит из вершины-центра, непосредственно подчиненных ей вершин и ребер, соответствующих этим подчинением (см. опр. 1.5).
176
граф G2 . Разбиение на пары производим таким образом, чтобы
стоимость реорганизации была минимальна.
На графах организации можно определить стоимость реорганизации как сумму по всем парам неначальных вершин. При этом, как показано в [31], стоимость реорганизации будет совпадать со стоимостью определения 5.3. Таким образом, понятие
стоимости реорганизации может быть расширено на произвольные ориентированные графы.
Лемма 5.8. При добавлении к любому из графов G1 = (V1, E1) и G2 = (V2 , E2 ) любого числа изолированных вершин стоимость реорганизации ρ(G1,G2 ) не изменится.
Доказательство. Обозначим k1 = V1 , k2 = V2 , k = max(k1, k2 ) .
При вычислении ρ(G1,G2 ) к V1 добавляется k − k1 изолированных вершин, к V2 добавляется k − k2 изолированных вершин. Обозна- чим полученные множества вершин через V1′ и V2′. Далее выбира-
ются пары (gi ,hi ) V1¢×V2¢, i =1,k так, чтобы åi=1,k ρ(QG1 (gi ),QG2 (hi )) была минимальна. Добавим к одному из множеств V1 или V2 изолированные вершины. Обозначим мощность полученного множества вершин через k′′, а соответствующие графы через G3 и G4 . Если k′′ ≤ k , то при вычислении ρ(G3 ,G4 ) снова получим
множества вершин V1′ и V2′, то есть ρ(G3 ,G4 ) = ρ(G1,G2 ).
Если k′′ > k , то при вычислении ρ(G3 ,G4 ) получим множества вершин V1′′ и V2′′, где Vj′′ образуется из Vj′ добавлением
k′′ − k изолированных вершин, j = 1,2. Множества V1′′ и V2′′ можно разбить на пары следующим образом: сохраним разбиение для V1′, V2′, оставшиеся пары (g,h) состоят из изолированных вершин,
следовательно ρ(QG (g),QG (h)) = ρ( , ) = 0. Таким образом, |
|||||
3 |
4 |
|
|
||
ρ(G3 ,G4 ) ≤ ρ(G1,G2 ). Рассмотрим разбиение множеств V1′′ и V2′′ |
|||||
на пары (gi , hi ) V1′′×V2′′, |
i = |
|
, при котором ρ(G3,G4 ) = |
||
1,k′′ |
|||||
= åi= |
|
ρ(QG3 (gi ),QG4 (hi )). |
Если в нем имеются две пары вида |
||
1,k′′ |
(Q(g),Æ) и (Æ,Q(h)) , где Q(g) ¹ Æ и Q(h) ¹ Æ , то переформиру- ем их в пары (Q(g),Q(h)) и (Æ,Æ). При таком разбиении снова получим ρ(G3 ,G4 ), так как сумма не увеличилась в силу неравен-
177
ства треугольника (см. лемму 5.7) ρ(Q(g),Q(h)) ≤ ρ(Q(g), ) + + ρ( ,Q(h)) и равенства ρ( , ) = 0. Повторяя такие действия, получим в результате разбиение, в котором нет двух пар вида (Q(g), ) и ( ,Q(h)) . Такое разбиение может быть получено из некоторого разбиения множеств V1′ и V2′ добавлением пар (g,h), состоящих из изолированных вершин, для которых ρ(Q(g),Q(h)) =
= ρ( , ) = 0 . Таким образом, ρ(G1,G2 ) ≤ ρ(G3,G4 ). То есть ρ(G1,G2 ) = ρ(G3 ,G4 ). Лемма доказана.
Лемма 5.9. Если для любых наборов непустых групп выполнена первая аксиома метрики, то и для любых графов
организации G1 = (V1,E1) O(N) и G2 = (V2,E2 ) O(N) без изолиро- ванных вершин также выполнена первая аксиома метрики: равен-
ство ρ(G1,G2 ) = 0 эквивалентно равенству G1 =G2 (V1 =V2 и E1 = E2).
Доказательство. |
Очевидно, |
что |
из |
|
G1 = G2 следует |
|||||||
ρ(G1,G2 ) = 0 , докажем |
обратное. |
Пусть |
|
ρ(G1,G2 ) = 0 . |
При |
|||||||
вычислении ρ(G1,G2 ), добавив изолированные вершины, получим |
||||||||||||
множества вершин V1′ |
и V2′ такие, |
что |
|
V1′ |
|
= |
|
V2′ |
|
= k . |
Тогда |
|
|
|
|
|
ρ(G1,G2 ) = åi=1,k ρ(QG1 (gi ),QG2 (hi )), где (gi , hi ) , i = 1, k – некото-
рое разбиение на пары множеств V1′ и V2′. Из ρ(G1,G2 ) = 0 следует
ρ(QG1 (gi ),QG2 (hi )) = 0. Так как G1 и G2 – графы организации, то
V1 |
и V2 содержат только непустые группы. Следовательно, |
|||
QG |
(gi ) и QG (hi ) являются наборами непустых групп, |
поэтому |
||
1 |
(gi ) = QG |
|
2 |
|
QG |
2 |
(hi ) . Для каждой неначальной вершины g V \ NG |
||
1 |
|
|
|
|
любого графа организации G выполнено g = Uh Q (g ) h. |
В силу |
|||
QG |
(gi ) = QG |
|
G |
|
2 |
(hi ) неначальные вершины из V1 и V2 разбиваются |
|||
1 |
|
|
|
на пары gi = hi , причем в gi входят в графе G1 ребра из тех же вершин, что и в hi в графе G2 . Начальные вершины G1 не могут
соответствовать |
неначальным вершинам |
G2 |
в силу |
||
QG |
(gi ) = QG |
(hi ) . |
Следовательно, множества |
|
неначальных |
1 |
2 |
|
|
|
|
вершин из G1 |
и из G2 совпадают. Из любой начальной вершины |
{a} V1 в графе G1 выходит хотя бы одно ребро (она не изолирована) в неначальную вершину g V1 \ NG1 . Следовательно,
178
g V2 и в G2 также имеется ребро |
({a}, g). То есть {a} V2 . |
|||
Обратное также верно. Имеем |
V1 = V2 . |
Условие |
(g, h) E1 |
|
эквивалентно условию (g, h) E2 |
в |
силу |
того, что |
ребра G1, |
входящие в h , совпадают с ребрами G2 , входящими в h . Таким образом, E1 = E2 , из чего следует G1 = G2 . Лемма доказана.
Лемма 5.10. Если для любых наборов групп выполнена вторая аксиома метрики, то и для любых графов G1 и G2 также выполнена вторая аксиома метрики (симметричность):
ρ(G1,G2 ) = ρ(G2 ,G1 ).
Доказательство. Добавим изолированные вершины так, чтобы графы G1 и G2 содержали одинаковое количество k
вершин. |
Тогда |
|
имеем |
ρ(G1,G2 ) = min å |
|
|
|
|
|
|
ρ(QG |
(gi ),QG |
|
(hi )) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i |
=1,k |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= min å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
ρ(QG |
|
(hi ),QG |
(gi )) = ρ(G2 ,G1) . Лемма доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i=1,k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Лемма 5.11. |
Для |
|
произвольных |
|
|
|
графов |
|
|
|
|
G1 = (V1, E1), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
G2 = (V2 , E2 ), G3 = (V3 , E3 ) выполнено неравенство треугольника: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ρ(G1,G3 ) ≤ ρ(G1,G2 ) + ρ(G2 ,G3 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Доказательство. Обозначим k = max( |
|
V1 |
|
, |
|
V2 |
|
, |
|
V3 |
|
). Добавим к |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
V1, V2 , V3 |
изолированные вершины так, чтобы k = |
|
V1 |
|
= |
|
V2 |
|
|
= |
|
V3 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
По лемме |
|
5.8 |
|
это |
не |
изменит |
величин ρ(G1,G3 ), |
|
ρ(G1,G2 ) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ρ(G2 ,G3 ). Пусть ( fi , gi ), |
i = |
|
– разбиение множеств V1 и V2 на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1, k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пары, которое соответствует значению ρ(G1,G2 ) , а (gi , hi ), |
|
|
i = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1, k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– разбиение множеств V2 и V3 на пары, которое соответствует зна- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
чению ρ(G2,G3). Тогда ρ(G1,G2)+ ρ(G2,G3) =å |
|
|
|
|
|
|
|
[ρ(QG ( fi ),QG (gi ))+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ ρ(QG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å |
|
|
|
ρ(QG ( fi ),QG |
|
|
i=1,k |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
(gi ),QG |
|
(hi ))] ³ |
|
|
|
|
|
(hi )). Последняя сумма |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
i=1,k |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
больше или равна ρ(G1,G3 ) в силу того, что ρ(G1,G3 )
соответствует разбиению на пары с минимальной суммарной стоимостью реорганизации. Лемма доказана.
|
Утверждение 5.3. |
Если для |
всех a N выполнено |
ρ (a) = ρ (a) = ρ(a) > 0, |
то стоимость |
реорганизации является |
|
′ |
′′ |
|
|
метрикой на множестве графов организации без изолированных вершин.
179
Доказательство. По утверждению 5.2 стоимость
реорганизации наборов непустых групп удовлетворяет первой и второй аксиомам метрики и неравенству треугольника. По леммам 5.9-5.11 этого достаточно для того, чтобы те же свойства
выполнялись для любых графов организации без изолированных вершин. Утверждение доказано.
4. Некоторые свойства стоимости реорганизации.
Лемма 5.12. Для любых наборов групп Q′ и Q′′ выполнено ρ(g′, g′′) £ ρ(Q′,Q′′), где g′ = Uh Q′ h и g′′ = Uh Q′′ h – группы,
образующиеся в результате объединения групп каждого из наборов. Если наборы Q′ и Q′′ содержат только неповторяющиеся элементарные группы, то вышеуказанное неравенство выполнено как равенство.
Доказательство. |
|
ρ(g′, g′′) = åa g′\g′′ ρ′(a) + åa g′′\g′ ρ′′(a). |
|||||||||||||||||||||
Пусть |
a Î g′ \ g′′. Тогда существует группа |
h′Î Q′ , |
для которой |
||||||||||||||||||||
a h′, |
и не существует группы h′′Î Q′′, для которой a h′′. При |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
′ |
′′ |
множество |
h |
′ |
|
входит в некоторую пару |
|||||||||||||
вычислении ρ(Q ,Q ) |
|
|
|||||||||||||||||||||
′ |
где |
h Î Q |
′′ |
или |
h = . |
В |
обоих |
случаях |
|
a h. Таким |
|||||||||||||
(h , h) , |
|
|
|||||||||||||||||||||
образом, слагаемое |
′ |
|
входит в |
|
|
|
|
′ |
, которое, в свою оче- |
||||||||||||||
ρ (a) |
ρ(h , h) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a Î g |
′′ |
\ g |
′ |
, |
то слага- |
|
редь, входит в ρ(Q ,Q ). Аналогично, если |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
′′ |
|
|
|
|
|
′ |
′′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
′′ |
|
|
′ |
|
|
′′ |
емое ρ (a) |
входит в ρ(Q ,Q ). То есть |
ρ(g , g ) £ ρ(Q ,Q ). |
|||||||||||||||||||||
Пусть |
Q |
′ |
|
|
|
|
′ |
и |
Q |
′′ |
|
|
|
′′ |
|
Рассмотрим |
|||||||
|
= {{a} : a Î g } |
|
|
= {{a}: a Î g }. |
|||||||||||||||||||
следующее разбиение наборов Q′ |
и Q′′ на пары. Для каждого |
||||||||||||||||||||||
a Î g′ Ç g′′ |
включим в разбиение пару ({a},{a}). Остальные пары |
||||||||||||||||||||||
имеют один из трех видов: |
|
′ |
|
|
|
′′ |
|
|
′ |
, |
|
|
|
|
′′ |
||||||||
({a },{a }) , ({a },Æ) |
|
(Æ,{a }) , где |
a′ Î g′, a′′Î g′′. Рассмотрим a Î g′ \ g′′. Группа {a} войдет ровно в
одну из пар указанного вида, следовательно величина ρ (a) войдет |
||||||||||||||||||
в ρ(Q ,Q ) ровно один раз. |
Аналогично, |
для a Î g |
|
\ g |
′ |
величина |
||||||||||||
′′ |
′ |
|||||||||||||||||
′ |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
|
|
|
|||
ρ (a) |
войдет в ρ(Q ,Q ) ровно один раз. |
при указанном |
||||||||||||||||
′′ |
|
|
′ |
|
|
′′ |
Q |
|
на |
пары |
выполнено |
|
ρ(g , g ) = |
|||||
разбиении |
наборов Q |
′ |
и |
′′ |
|
|||||||||||||
= ρ(Q ,Q ). В |
силу |
|
|
|
|
выше |
неравенства |
|
′ ′′ |
|||||||||
доказанного |
|
величина |
||||||||||||||||
′ |
′′ |
не |
может |
|
быть |
меньше ρ(g , g ). |
Следовательно, |
|||||||||||
ρ(Q ,Q ) |
|
|||||||||||||||||
′ |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′′ |
|
|
|
|
|
построенное разбиение является оптимальным. Лемма доказана.
180