Оптимальные иерархические структуры - Воронин А.А., Мишин С.П

Таблица 3.4. Отношение сложности переборного алгоритма поиска r -дерева s(n,r) к минимально возможной сложности точного алгоритма q(n, r) при n =15.

Рис. 3.3. Сложность s(15, r) переборного алгоритма поиска r -дерева при 2 ≤ r ≤ 15.

Рис. 3.3 показывает, что при росте r от 2 до n сложность переборного алгоритма поиска оптимального r -дерева быстро возрастает примерно до r = n / 2, после чего остается практически неизменной, близкой к s(n) (см. таблицу 3.2). То есть сложность

s(n / 2,n) переборного алгоритма при n > 20 неприемлемо высока.

f

Рис. 3.4. Оптимальное на D2 ( f ) 2-дерево организации группы f = {a1,K,a18}.

Приведем пример найденного алгоритмом оптимального на D2 ( f ) 2-дерева организации группы f = {a1,K, a18} из

111

которой функционал не является ни выпуклым, ни вогнутым (см. рис. 2.8). Сложности элементов определим следующим образом

3. Оценка сложности задачи на D( f ) при функционале вида P( g1 ,K, gk , g ) . Алгоритм решения.

Как было отмечено в начале главы, если функционал имеет вид P( g1 ,K, gk , g ) , то стоимость организации подгрупп в группу

зависит только от их мощностей, но не от состава. То есть варианты разбиения g на подгруппы одинаковой мощности имеют одинаковую стоимость. Приведем формальные определения.

Определение 3.1. Для любого нетривиального1 разбиения группы g на непересекающиеся подгруппы Q = {g1,K, gk }, k ³ 2,

g = g1 K gk вектором длин, соответствующим набору Q , назовем вектор v = (v1,K,v g −1) , i -я компонента vi которого равна

количеству подгрупп мощности i , входящих в Q , i = 1, g −1.

Определение 3.2. Два нетривиальных разбиения Q1 и Q2 группы g назовем существенно различными, если различаются векторы длин, соответствующие Q1 и Q2 .

точностью до перестановки, следовательно выполнено соотношение P(Q1) = P( g1 ,K, gk , g ) = P( h1 ,K, hk , g ) = P(Q2 ) .

Таким образом, при поиске оптимального дерева переборными алгоритмами (см. утв. 3.2 и 3.4) можно анализировать не все

1 То есть группа разбивается на две или более подгруппы.

112

разбиения, а лишь те, которые существенно различны. Перефор- мулируем пункт 1 для функционала вида P( g1 ,K, gk , g ) .

Через q~(n,r) обозначим количество способов нетривиального разбиения группы из n элементов на существенно различные наборы из r или менее подгрупп, n ³ 2, r ³ 2. Через q~(n) = q~(n, n)

обозначим общее число способов нетривиального разбиения группы из n элементов на существенно различные наборы

сколь угодно больше стоимости оптимального дерева. Доказательство. Зададим функционал P′(g1,K, gk ) стоимо-

где y > 0 – произвольное число.

Тогда любое дерево D D( f ) имеет стоимость y . Предполо- жим, что алгоритм, решающий задачу об оптимальном дереве на D( f ), анализирует менее q~(n) значений P. Применим его для решения задачи с функционалом P¢. Обозначим полученное дерево через D′ D( f ) . Найдется такой набор подгрупп h1,K, h j ,

f = h1 K hj , что все варианты организации f , стоимость которых проанализирует алгоритм, будут существенно отличаться

113

Применим алгоритм для решения задачи с функционалом P′′.

Мы изменили значения функционала только для тех вариантов организации f , которые несущественно отличаются от h1,K, h j 1.

Эти значения алгоритм не анализировал. Следовательно, в качестве решения опять будет выдано дерево D′.

При первом варианте выбора P′′ деревья из D( f ), в которых

организуется из набора подгрупп, существенно отличающегося от h1,K, h j . Стоимость такого дерева равна y , а P(D′) = z .

В обоих случаях стоимость выданного решения может быть сколь угодно большей, чем стоимость оптимального дерева. Утверждение доказано.

стоимости.

Доказательство. Для группы мощности два существует единственное дерево организации, построить которое можно, не

1 Изменить значение функционала только на наборе подгрупп h1 ,K, h j нельзя, так как P имеет вид P( g1 ,K, gk , g ) и при изменении стоимости P(h1 ,K, h j )

автоматически изменится стоимость всех вариантов, которые несущественно отличаются от h1 ,K, h j .

114

вычисляя P . Введем индуктивное предположение, что для всех групп мощности меньше s можно построить оптимальные деревья их организации без вычисления P (2 < s ≤ n).

ности s в оптимальном дереве Dg D(g) . Обозначим мощности

Стоимость такого дерева будет равна стоимости оптимального

предположение, построили оптимальное дерево организации группы h , не вычисляя P. В итоге по индукции доказана возможность такого построения для группы мощности n , то есть

1 Аналогичным образом строится алгоритм поиска оптимального на Dr ( f ) дерева с уровнем не более L (см. сноску перед утв. 3.2).

115

подгруппы Q′(gi ). Мощность подгрупп из Q′(gi ) не более i −1. По

предположению для подгрупп такой мощности известна стоимость оптимального дерева организации (стоимость оптимальных

деревьев организации всех подгрупп одинаковой мощности одинакова в силу вида функционала). Вычислим P(Q′(gi )),

прибавим стоимости оптимальных деревьев организации подгрупп из Q′(gi ). Получим стоимость некоторого дерева организации gi .

В оптимальном дереве D* D(gi ) группа gi организуется из некоторых подгрупп h1,K, hk . Будет проанализировано разбиение Q′(gi ) группы gi , которое несущественно отличается от h1,K, hk . Тогда P(h1,K, hk ) = P(Q′(gi )) , соответствующие подгруппы в наборах Q(gi ) и h1,K, hk имеют одинаковую мощность. Следовательно, стоимость оптимального на D(gi ) дерева и соответствующее ей разбиение Q′(gi ) будут найдены алгоритмом. Что позволяет перейти к следующему значению i .

Для каждого i = 2, n вычислим функционал стоимости q~(i) раз. В итоге, вычислив ~s (n) значений P, при каждом i = 2, n для некоторой группы gi мощности i найдем ее разбиение Q(gi ) в некотором оптимальном дереве Dgi D(gi ) . После этого по лемме 3.3 построим оптимальное дерево организации f без

1 При минимальном i = 2 предположение очевидно выполнено, так как

оптимальное дерево организации элементарной группы состоит из одной изолированной вершины и имеет нулевую стоимость.

116

изображенные слева, не являются существенно различными, так как в них f разбивается на подгруппу мощности 1 и подгруппу мощности 2 (всем вариантам соответствует один и тот же вектор длин (1,1)). Стоимости соответствующих деревьев равны. Поэтому все три варианта анализировать не нужно, достаточно выбрать любой из них. Кроме того, необходимо вычислить стоимость организации f при разбиении, изображенном справа (см. рис. 3.1). Ему соответствует вектор (3,0), и этот вариант существенно отличается от всех остальных. Всего при анализе разбиений f вычислим q~(3) = 2 значения функционала. Согласно утверждению 3.5 это минимально возможное количество вычислений точным алгоритмом. Еще q~(2) = 1 раз вычислим функционал для

нахождения стоимости дерева организации группы мощности 2. Всего потребуется ~s (3) = q~(2) + q~(3) = 3 вычисления.

Алгоритм вычисления величины q~(n) . Через q~i, j

обозначим количество способов нетривиального разбиения группы

известны те элементы матрицы (3.7), которые расположены выше

117

количество подгрупп мощности j , которое может содержать группа мощности i , чтобы мощность оставшейся части была нулевой или большей , чем j . Тогда имеем:

недопустимо. Таким образом, в первой строке (3.8) вычитаем 1 из

выбрано, следовательно “оставшуюся часть” мощности i

значениям k из соотношения (3.8). Равенство справедливо, так как любые наборы, содержащие разное количество подгрупп мощности j , существенно различны, и рассмотренными

вариантами исчерпываются все возможности разбиения группы мощности i на существенно различные наборы подгрупп мощности j или более.

Таким образом, в матрице (3.7) можно последовательно вычислить строки сверху вниз, вычисляя каждую из строк справа налево по формуле (3.9). Проведя вычисления в таком порядке, найдем все q~i, j . Тогда выполнено q~(n) = q~n,1. Алгоритм построен.

Значения q~(n) приведены в таблице 3.5. Из таблицы можно сделать вывод, что при увеличении n отношение q~(n) / q~(n −1)

118

уменьшается. Этот факт позволяет предположить, что порядок

минимальной сложности точного алгоритма меньше an для любого a > 1. То же самое можно сказать и про сложность ~s (n)

построенного алгоритма. Вопрос теоретического доказательства приведенной гипотезы остается открытым. Также открыт вопрос о

минимально возможную сложность точного алгоритма не более, чем на порядок (~s (100) / q~(100) < 10). С другой стороны, нижняя оценка q~(n) сложности точного алгоритма неприемлемо высока при n существенно большем 100. Таким образом, имеет смысл построение эвристических алгоритмов, которые решают задачу с

приемлемой погрешностью для некоторых функционалов стоимости (см. §2).

Приведем пример найденного алгоритмом оптимального на D( f ) дерева организации группы f = {a1,K, a70} из семидесяти

элементов (n = 70) для функционала (II) с функцией сложности вида (2.2) (см. §2 гл. II). Для примера положим α = 0.5 и β = 1.5, то есть точку из области, в которой функционал не является ни выпуклым, ни вогнутым (см. рис. 2.6). Для того, чтобы функционал имел вид P( g1 ,K, gk , g ) , то есть зависел только от

119

мощностей подгрупп, сложности элементов должны быть равны: C(a1 ) = K = C(a70 ) . В силу однородности функционала масштаб

сложности не влияет на оптимальность организации. Положим сложности элементов равными единице: C(a1) = K = C(a70 ) = 1.

f

все элементы подчиняются шестнадцати управляющим вершинам нижнего уровня, которые затем группируются в f с помощью симметричного 4-дерева.

При приближении β к единице функционал “приближается” к вогнутому и становится оптимальной веерная организация. При увеличении β становится оптимальной 2-организация (в

1 При n = 125 и n = 625 решение найдено эвристическим алгоритмом пункта 2 §2.

120