Оптимальные иерархические структуры - Воронин А.А., Мишин С.П

s(a) = (s1 (a),K, sr (a)).

Предположим, что “управляющий орган” принимает решение

выполняет каждый исполнитель, причем суммарный объем

выполненных работ должен быть достаточным для выпуска всех изделий. Для этого определяется доля 0 ≤ xtj (a) ≤ 1 единицы времени t , которую исполнитель a уделяет выполнению

для выполнения работ в требуемых объемах.

“Управляющий орган” может поставить перед собой задачу

определяются в результате решения задачи линейного программирования. Обеспечив максимально возможную выручку, “управляющий орган” распределяет выполненный объем работ по

изделиям, определяя тем самым группы исполнителей f1t ,K, fmt t ,

участвующие в выпуске каждого из изделий.

Возможно построение и более сложных моделей работы “управляющего органа”, в которых он может также некоторым образом изменять набор конечных исполнителей N (выбирать “кадровую политику”), учитывая не только выручку, но и затраты на содержание исполнителей, и максимизируя валовую прибыль. Возможно подобные модели (см. [15]) при достаточно детальном

исследовании смогут описать структурные изменения совместно с другими аспектами управления организационной системой. В

184

данной работе моделируется только изменение набора

работы “управляющего органа” показывает, что изменение f t

может интерпретироваться как результат изменения вектора цен pt = ( p1t ,K, pqt ) (снижения цен на одни изделия и повышения цен

на другие), в результате которого “управляющий орган”

принимает решение о прекращении выпуска одних изделий и начале выпуска других.

3. Управление структурой.

Определение 5.7. Множество всевозможных наборов групп из F обозначим через F. Информацией о внешней среде, известной к началу единицы времени t , считаем наборы групп

f1,K,f t . Динамикой внешней среды назовем наборы f1,K,f T .

Таким образом, к началу единицы времени t известно, какой

набор групп f t нужно организовать, и какие наборы групп нужно было организовать на протяжении предыдущих единиц времени. То есть известна “история” изменения внешней среды.

Определение 5.8. Управлением структурой организационной

представляют собой информацию о внешней среде, а последний – структуру системы на протяжении единицы времени t −1, t = 2,T .

Управлением в первый момент времени назовем отображение

Определение 5.9. Управление структурой назовем простейшим, если для любого t = 1,T выполнено Ψt : F → O(f t ).

Управление структурой в момент времени t определяет Gt O(f t ) – граф организации заданного внешней средой набора

185

групп f t , то есть структуру организационной системы на протяжении единицы времени t , исходя из известной информации о внешней среде и “текущей” структуры системы, то есть структуры на протяжении единицы времени t −1. Структура в

первый момент времени выбирается из множества O(f1) без учета какой-либо информации, так как к этому моменту известен лишь набор групп f1. Простейшее управление структурой выбирает Gt из множества O(f t ) без учета информации о состоянии внешней

среды в предыдущие единицы времени и без учета “текущей” структуры системы.

внешней среды идет речь, то первые аргументы будем опускать, используя запись R(Ψ), P(Ψ), ρ(Ψ).

Результат управления структурой при каждом t складывается из затрат на функционирование системы, определяемых функционалом P (см. введение к главе), и из затрат на

реструктуризацию ρ(Gt−1,Gt ) (см. §1), то есть из стоимости создания (построения) структуры Gt из сложившейся к началу единицы времени t структуры Gt−1. Считаем, что в первый момент времени структура G1 “уже имеется” и не требует затрат на построение (G0 = G1). Общий результат управления структурой

1 В определении суммарные затраты делятся на T , то есть вычисляются удельные затраты на единицу времени. При фиксированном T это никак не влияет на оптимальность управления. Во введении и заключении затраты названы суммарными для краткости.

186

зависит от динамики внешней среды f1,Kf T и от управления Ψ , определяющего структуры G1,K,GT .

Определение 5.11. Оптимальным управлением назовем управление структурой Ψ , минимизирующее результат, то есть

arg min R(f1,Kf T , Ψ) .

Ψ

Таким образом, оптимальное управление минимизирует

средние затраты на функционирование системы и на реструктуризацию на протяжении конечного числа единиц времени T . Оптимальное управление зависит от динамики

внешней среды f1,Kf T , которая, как правило, заранее неизвестна. Если имеется некоторый прогноз – вероятностное распределение динамики внешней среды, то можно определить управление, оптимальное в среднем.

Определение 5.12. Оптимальным в среднем управлением назовем управление структурой Ψ , минимизирующее средний

Задача об оптимальном управлении представляется весьма сложной для аналитического решения. Однако, если отображения

Ψ1,K, ΨT эффективно вычисляются, то результат управления

структурой при заданной динамике внешней среды f1,Kf T также может быть эффективно вычислен. Таким образом, если рассматривается набор эффективно вычисляемых управлений, то среди них можно найти оптимальное. Оптимальное в среднем

управление можно вычислить путем замены математического ожидания выборочным средним.

187

4. l -усечения как пример простейших управлений

структурой.

Определение 5.13. Для произвольного графа организации G = (V , E) O(N) уровнем LG (g) вершины g V назовем максимальную длину пути из g в терминальную вершину.

Уровень любой вершины конечен в силу ацикличности графа организации (см. опр. 1.19). Уровень терминальных вершин нулевой, уровень остальных вершин равен максимальной длине цепочки “начальников” данной вершины, то есть максимальной длине пути в терминальную вершину.

Определение 5.14. Уровнем L(G)1 графа организации G = (V , E) O(N) назовем максимальный уровень вершины графа:

L(G) = max LG (g).

g V

Далее в этой главе будем рассматривать множество O(f )

организаций различных наборов групп f с заданным структурным

изолированной вершины {a} получим графы из O(f ), причем стоимость не изменится в силу структурности функционала. В силу леммы 5.8 добавление изолированных вершин не изменяет также стоимость реорганизации. Таким образом, не ограничивая общности, ниже будем считать, что набор f содержит только неэлементарные группы.

Утверждение 5.5. Для произвольной организации

G = (V , E) O(f ) набора групп f = { f1,K, fm } выполнено L(G) = 1 тогда и только тогда, когда G – веерная организация.

1 Здесь и далее одной и той же буквой L обозначается как уровень вершины графа, так и уровень самого графа, что не вызывает путаницы в силу различия аргументов L .

188

Доказательство. Пусть G – веерная организация. Тогда V

могут идти только из элементарных групп (см. опр. 1.26). Все элементарные группы являются начальными. Все терминальные вершины G входят в набор f = { f1,K, fm }. Если бы существовал

путь длины два и более из начальной вершины {a} в терминаль-

выходит по крайней мере одно ребро. В силу неэлементарности g в нее также входит ребро. То есть в G существует путь длины 2,

(элементарных групп другого вида быть не может, так как в этом случае найдется терминальная вершина, не входящая в f ). Если элементарная группа {a} повторяется, то хотя бы один из

экземпляров {a} неначальный, в него входит ребро из другого экземпляра {a}. Кроме того, {a} f (f содержит лишь неэлементарные группы), следовательно {a} нетерминальная и из нее выходит хотя бы одной ребро. То есть в G существует путь длины 2, что противоречит равенству L(G) = 1. Итак, элементар- ные группы не повторяются. Группа fi , i = 1, m организуется из

элементарных подгрупп, так как иначе в G нашелся бы путь длины 2. То есть G – веерная организация. Утверждение доказано.

Таким образом, веерная организация и только она имеет минимальный уровень среди всех организаций множества O(f ).

Определение 5.15. Для произвольного графа организации G = (V, E) ÎO(f) набора групп f = { f1,K, fm } назовем l -усечением графа G , l ³ 1 граф Gl O(f) , который получается в результате

следующей процедуры. Удаляем из G неначальные вершины с уровнем, большим или равным l , вместе с инцидентными им

189

Таким образом, Gl получается из G с сохранением l старших

{a1} {a2} {a3} {a4} {a5} {a6} {a7} {a8}

Рис. 5.1. Граф G O({ f1, f2}) организации набора групп { f1, f2} и его 2-усечение G2 .

На рис. 5.2 приведен еще один пример 2-усечения графа

f1 = {a1, a2 , a3 , a4} и {a3 , a4 , a5}. Соответственно, добавляем ребра ({a3}, f1 ) и ({a4}, f1 ) для организации группы f1 (группа {a1, a2} и ребро ({a1, a2}, f1) остаются без изменений). Группа {a3 , a4 , a5} в G2 организована из входящих в нее элементарных групп.

190