Лінійні системи

Під системою потрібно розуміти все те, що здійснює перетворення ряду вхідних функцій в ряд вихідних функцій. В електричних схемах вхідні і вихідні сигнали представляють собою дійсні функції (напруга чи струм) одної незалежної змінної (часу), тоді як в системах, що створюють зображення, вхідні і вихідні сигнали можуть бути дійсними (інтенсивність) або комплексними (амплітуда поля) функціями двох незалежних змінних (просторових координат).

Вхідний і вихідний сигнали лінійної системи можна зв’язати простим співвідношенням:

,

де називається імпульсним відгуком системи, тобто відгуком на вхідний сигнал у вигляді дельта-функції.

Лінійна оптична система просторово інваріантна (або, по іншому, ізопланарна), коли її імпульсний відгук залежить тільки від відстаней і Для таких систем можна, очевидно, написати

.

Для таких систем вихідний сигнал зв’язаний з вхідним сигналом з допомогою згортки:

.

Якщо взяти перетворення Фур’є правої і лівої частини, врахувавши теорему про згортку, отримаємо:

,

де — фур’є-образ імпульсного відгуку

Функція називається передавальною функцією системи, показує як діє система в “частотній області”.

ЗАДАЧІ

1. Доказати, що коли , то — дійсна функція.

2. Доказати, що коли , то — уявна функція.

3. Якщо для абсолютно інтегрованої функції то .

4. Якщо для абсолютно інтегрованої функції і то

5. Довести, що

6. Довести, що

7. Довести, що

8. Довести, що

9. Довести, що

10. Довести, що Вказівка: скористатись теоремою про автокореляцію.

11. Довести, що Вказівка: скористатись теоремою про зміщення

12. Довести що Вказівка: Знайти перетворення Фур’є від такої функції: і границю отриманого результату при

13. Довести що

14. Знайти фур’є-образ функції прямим методом і з використанням теорем про зміщення та подібності.

15. Знайти фур’є-спектр такої функції:

16. Знайти фур’є-спектр такої функції:

17. Знайти фур’є-спектр такої функції:

18. Знайти фур’є-спектр такої функції:

19. Знайти фур’є-спектр такої функції:

20. Знайти фур’є-спектр функції

21. Знайти фур’є-спектр функції

22. Знайти фур’є-спектр функції

23. Знайти фур’є-спектр функції

24. Знайти фур’є-спектр функції

25. Знайти фур’є-спектр функції

26. Знайти фур’є-спектр функції

27. Методом перетворення Фур’є знайти постійні поширення хвилеводних мод планарного симетричного хвилеводу, а також поле трьох найнижчих мод для довжини хвилі 0.6328 мкм. Визначити число локалізованих мод, що поширюються в хвилеводі. Діелектрична стала описується такими функціями:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. , .

6. , .

28. „Еквівалентну площу” функції можна визначити так:

одночасно „еквівалентна ширина спектру” функції зв’язана з її образом наступним виразом:

Показати, що

29.Знайти максимальний інтервал відліку функції , якщо

30.Знайти максимальний інтервал функції

31. Знайти максимальний інтервал функції

32. Провести оцінку максимального інтервалу відліку функції – функція Гауса.

33. Знайти похибку між значеннями та її представленням згідно теореми про відліки, та провести дослідження величини похибки від .

34. Провести оцінку максимального інтервалу відліку функції

35. Знайти похибку між значеннями та її представленням згідно теореми про відліки, та провести дослідження величини похибки від .

36. Довести, що рядки і стовпці матриці дискретного фур’є-перетворення є ортогональні.

37. Довести, що сума елементів кожного рядка (стовпця), за виключенням першого, матриці дискретного фур’є-перетворення рівна нулю.

38. Довести, що рядки і стовпці матриці Адамара є ортогональні.

39. Довести, що сума елементів кожного рядка (стовпця), за виключенням першого, матриці Адамара рівна нулю.

40. Довести теорему Парсеваля для перетворення Адамара.

41. Знайти перетворення Адамара матриці , провести перевірку теореми Парсеваля.

42. Знайти перетворення Адамара матриці , провести перевірку теореми Парсеваля.

43. Знайти перетворення Адамара матриці , провести перевірку теореми Парсеваля.

44. Знайти перетворення Адамара матриці , провести перевірку теореми Парсеваля.

45. Знайти , якщо , а .

46.Знайти перетворення Фур'є від функції

47. Знайти перетворення Фур'є від функції ,

48. Знайти перетворення Фур'є від функції

49. Знайти перетворення Фур'є від функції

50. Знайти перетворення Фур'є від функції