Теорема про відліки

Існує можливість розрахувати обмежене число відліків (тобто дискретних значень неперервних функцій, наприклад фур’є-образу функції, і по цим відлікам точно відновити всю функцію. У відповідності до теореми про відліки, коли неперервна функція має обмежену смугу, тобто її спектр має значення, що відмінні від нуля тільки в обмеженому діапазоні частот, і якщо відліки проводяться по крайній мірі двічі в любому інтервалі що рівний періоду найвищої просторово-частотної складової , тоді функція може бути точно відновлена з дискретних відліків.

Функція може бути відновлена з її дискретних відліків у відповідності до виразу:

Якщо вибраний максимально допустимий інтервал відліків , то попередній вираз спрощується, і ми отримуємо наступний дуже корисний вираз:

=

Дискретне перетворення Фур’є

Для , які лежать в інтервалі , фур’є-образ функції можна виразити через її відліки таким чином:

, для всіх інших .

Якщо функція обмежена в просторі інтервалом , то з теореми про відліки випливає, що – фур’є-образ функції – може бути відновлений з відліків фур’є-образу, взятих через інтервал . При машинному розрахунку фур’є-образу можна скоротити машинний час шляхом обчислення тільки в точках відліку , де – ціле число. Отже для одиничного відліку функції можна написати

.

де – загальне число відліків обмеженої в просторі функції . Дане співвідношення називається дискретним фур’є-перетворенням.

Якщо в останньому виразі сумування будемо проводити по двох змінних (фур’є-образ від двовимірного сигналу) від нуля до , а масштаби в просторі координат і зображень виберемо такими, що , причому потрібно пам’ятати, що , тоді дискретне двомірне фур’є-перетворення можна зобразити в матричному вигляді. Матриця зображення і відповідна матриця фур’є-спектру зв’язані наступними матричними співвідношеннями:

,

де – матриця зображення, – матриця фур’є-спектру,

– матриці дискретного фур’є-перетворення по рядках і стовпцях, з зірочкою (*) – матриці зворотнього Фур’є-перетворення, які комплексно спряжені до матриці прямого перетворення. Причому :

, де .

Перетворення Адамара

Перетворення Адамара двомірного зображення записується наступним чином: . Перетворення Адамара ґрунтується на квадратній матриці Адамара, елементи якої рівні 1, а рядки і стовпці утворюють ортогональні вектори, які ще називаються функціями Уолша. Нормована матриця Адамара -го порядку задовольняє співвідношенню:

.

Серед ортонормованих матриць Адамара найменшою є матриця другого порядку:

.

Найпростіше отримати матрицю Адамара при , де – ціле число. Якщо –матриця Адамара – го порядку, то матриця

.

також є матрицею Адамара, але порядку . Отже маючи матрицю Адамара другого порядку, можна знайти матрицю Адамара четвертого порядку, потім 8 порядку і так далі.

Для перетворення Адамара також справедлива теорема Парсеваля, яка записується аналогічно як і для дискретного перетворення Фур’є. Також існують алгоритми швидкого перетворення Адамара.