
- •Лекція 18 Загальне рівняння лінії другого порядку.
- •Лекції 19 – 20 Деякі властивості ліній другого порядку та їх застосування до зображення ліній.
- •Лекція 21 Спрощення рівняння лінії другого порядку за допомогою геометричних перетворень.
- •Лекція 22 Інваріанти рівняння кривої другого порядку. Застосування інваріантів для побудови ліній та їх класифікації.
- •Лекція 23 Загальне рівняння поверхні другого порядку.
- •Лекція 24 Перетворення площини.
- •Лекція 25 Афінні перетворення площини.
- •Лекція 26 Переміщення. Їх властивості та застосування.
- •5. Приклади задач, розв’язання яких ґрунтується на застосуванні переміщень.
- •Лекція 27 Перетворення подібності.
- •Лекція 28. Інверсія. Властивості та застосування.
Лекція 18 Загальне рівняння лінії другого порядку.
План.
1. Поняття загального рівняння лінії другого порядку.
2. Перетин лінії з прямою. Частинні випадки.
3. Центр лінії.
4. Рівняння дотичної та нормалі.
1. Розглянемо алгебраїчну лінію
другого порядку
,
задану рівнянням
,
(1)
де
- деякі дійсні числові коефіцієнти,
причому коефіцієнти
одночасно не дорівнюють нулю. Доданки
називають групою старших членів,
вираз
- лінійною частиною, число
- вільним членом рівняння.
Розв’язки даного рівняння, тобто
впорядковані пари чисел
на координатній площині задають певну
множину точок, які утворюють, взагалі
кажучи, деяку лінію. З частинними
випадками такого рівняння ми уже
зустрічалися раніше. Наприклад, рівняння
або
задає коло з центром в точці
,
радіус якого 5, рівняння
визначає гіперболу з дійсною піввіссю
3 та уявною піввіссю 2, а рівняння
задає єдину точку
,
що стає очевидним, якщо це рівняння
записати у виді
.
Рівняння (1) називають загальним
рівнянням лінії другого порядку,
оскільки з нього можна отримати будь-яке
конкретне рівняння другого порядку.
Зокрема в останньому прикладі
.
Виділення в деяких коефіцієнтах
загального рівняння множника 2 зроблено
для зручності та стане зрозумілим дещо
пізніше.
Оскільки рівняння (1) містить 6 коефіцієнтів, які визначаються з точністю до сталого множника, то лінія другого порядку задається, взагалі кажучи, 5 точками. В деяких випадках кількість умов, які визначають лінію другого порядку може бути меншою. Наприклад, коло задається трьома точками, взятими на ньому, парабола, як виявиться дальше, - чотирма.
З метою компактності записів у наступних
викладках введемо в розгляд символи
,
означивши їх рівностями
,
а також
.
Вони не складні для запам’ятання.
Зокрема
можна трактувати, як половину похідної
від функції
по змінній
,
вважаючи при цьому змінну
сталою, а
- як половину похідної від функції
по змінній
при умові, що
не змінюється.
Найближчими нашими задачами буде дослідження властивостей ліній, заданих рівнянням (1), вивчення особливостей їх розташування відносно системи координат, а також дослідження питання, скільки та які різні види ліній може визначати рівняння (1).
2. Перетнемо лінію другого порядку
прямою
,
яка проходить через деяку точку
та паралельна до вектора
.
Параметричні рівняння прямої
запишуться у виді
.
(2)
Для відшукання точок перетину лінії та прямої , дістаємо систему рівнянь
.
Розв’язуючи її, приходимо до квадратного рівняння
,
(3)
де
,
,
.
Д
ослідимо
особливості взаємного розташування
лінії
та прямої
у випадках, коли деякі коефіцієнти
рівняння (3) рівні нулю.
1. Нехай
.
Оскільки один із коренів рівняння
рівний 0, а йому відповідає точка
,
то у цьому випадку одна із точок перетину
лінії
та прямої
співпадає з точкою
(рис.1).
2
.
Нехай
і рівняння
має два дійсні корені
.
Даним кореням відповідають дві точки
перетину
.
Легко бачити, що у цьому випадку точка
є серединою хорди
(рис. 2).
3. Нехай
.
Рівняння
має єдиний корінь
.
Дослідимо, як змінюється другий корінь
рівняння (3) при
.
Маємо
.
О
чевидно,
що при
один із коренів рівняння прямує до
,
а абсолютна величина другого – до
.
Згідно із рівностями (2) при
одна із точок перетину нескінченно
віддаляється від точки
.
Таку точку ми будемо позначати
та говорити, що пряма перетинає лінію
в нескінченно віддаленій точці.
Напрям прямої
при цьому будемо називати асимптотичним.
Асимптотичним буде, наприклад, напрям
прямої, яка перетинає параболу та
проведена паралельно до її осі симетрії
(рис. 3).
4. Випадок
є поєднанням випадків 1 та 2. Рівняння
(3) матиме вид
та корені
.
Пряма
буде дотикатись до лінії
у точці
(рис. 4).
5. При
точка
належить лінії
,
а пряма
матиме відносно
асимптотичний напрям (рис. 5).
6. Якщо
,
то рівняння (3) не має розв’язків. У цьому
випадку пряма
не має з лінією спільних точок та має
відносно
асимптотичний напрям (рис. 6).
7
.
Коли
,
то рівняння (3) має розв’язком довільне
дійсне число
.
Тоді кожна точка прямої
належить лінії
.
Це можливо, наприклад, коли лінія
вироджується у пару прямих (рис. 7).
3. Хордою лінії другого порядку назвемо відрізок, який сполучає дві точки на лінії.
Я
кщо
для лінії існує точка, в якій всі хорди,
які проходять через неї, діляться
пополам, то цю точку називають центром
лінії. Фактично центр лінії є її
центром симетрії, оскільки разом із
будь-якою точкою лінії, їй належить
також точка, симетрична даній відносно
центра. На рисунку 8 центром лінії
є точка
- середина всіх можливих хорд, які
проходять через неї.
Розглянемо питання відшукання центра
лінії, яка задана рівнянням (1). Згідно
з попереднім пунктом, умовою того, щоб
точка
була серединою хорд, які проходить через
неї, є виконання рівності
.
Оскільки дана умова повинна виконуватися
для довільного напрямку, заданого
вектором
,
тобто для довільних
та
,
то для відшукання центра лінії дістаємо
систему рівнянь
.
(4)
Існування та кількість розв’язків
системи (4) залежить від визначника
.
Якщо
,
то система (4) має єдиний розв’язок. У
цьому випадку лінія
має єдиний центр і її називають
центральною. Прикладами таких
ліній є еліпс, гіпербола, лінія другого
порядку, яка вироджується у пару прямих,
які перетинаються.
Якщо
,
то система (4) має безліч, або не має
жодного розв’язку. Лінію
в цьому випадку називають нецентральною.
Прикладами таких ліній є парабола, пара
паралельних прямих. В останньому випадку
центри лінії
утворюють пряму, яка є середньою лінією
смужки, утвореної даними паралельними
прямими.
Приклад 1. Знайти центр лінії,
заданої рівнянням
.
Розв’язання. Складемо та
розв’яжемо систему рівнянь
.
Дістаємо
,
звідки
.
Отже, задана лінія має єдиний центр,
який знаходиться в точці
.
4. Розглянемо питання відшукання
рівняння дотичних, проведених до лінії,
заданої рівнянням (1). Згідно з попереднім,
пряма
буде дотичною до лінії
,
якщо для рівняння
,
яке характеризує перетин прямої
з лінією
,
виконуються умови
.
Нехай точка
належить лінії, тобто
.
Умову
запишемо у виді рівності
.
Введемо в розгляд вектор
.
Оскільки одержану рівність можна
записати у виді
,
що фактично означає, що
,
то вектор
буде перпендикулярним до шуканої
дотичної. Таким чином, рівняння
дотичної, проведеної до лінії
в точці
,
запишеться у виді
.
(5)
Нормаллю до лінії, проведеній в деякій точці, називають пряму, яка перпендикулярна до дотичної, проведеній в тій же точці. Оскільки вектор буде паралельним до нормалі, то рівняння останньої запишеться у виді
.
(6)
Приклад 2. Скласти рівняння дотичних до еліпса, гіперболи та параболи у довільній точці, яка їм належить, у випадку, коли лінії задані канонічними рівняннями.
Розв’язання. Нехай еліпс
заданий рівнянням
та точка
.
Знаходимо
,
.
Рівняння (5) запишеться у виді
або
.
Таким чином, рівняння дотичної до еліпса
має вид
.
Аналогічно, рівняння дотичної до
гіперболи
в точці
записується у виді
.
У випадку параболи запишемо її канонічне
рівняння у виді
,
звідки
,
.
Рівняння (5) набуде виду
.
Оскільки
,
то рівняння дотичної можна записати у
виді
.
Використовуючи одержане рівняння,
знайдемо точку перетину дотичної з
віссю
.
При
дістаємо
.
Одержаний результат дозволяє зображати
дотичну до параболи в заданій на параболі
точці без додаткових обчислень.
Нагадаємо, що із виведеними співвідношеннями ми уже зустрічались в лекціях 13-14, п. 6, де для їх отримання довелось використати методи математичного аналізу. В даній лекції вони розглядаються як приклади наведених вище загальних міркувань.
Приклад 3. Знайти множину точок,
з яких параболу
видно під прямим кутом.
Розв’язання. Нехай
- одна із точок шуканої множини, тобто
кут між дотичними, які проведені до
параболи із даної точки, рівний
.
Запишемо рівняння пучка прямих, які
проходять через точку
у виді
.
Даний пучок не містить вертикальних
прямих, але такі прямі розглядати не
потрібно, оскільки парабола
не має вертикальних дотичних. Виберемо
з пучка прямі, які дотикаються до
параболи. Для цього система рівнянь
та
повинна мати єдиний розв’язок. На
рівняння
,
яке дістаємо при розв’язуванні системи,
накладемо умову, що його дискримінант
рівний нулю. Отримаємо рівняння
.
Кожен з коренів
одержаного рівняння визначає дотичну
до параболи пряму. Дані дві прямі будуть
перпендикулярними, якщо виконується
умова
.
Скориставшись теоремою Вієта, дістаємо
або
.
Дане співвідношення є рівнянням шуканої
множини точок.
Відповідь. Шуканою множиною є точки
прямої
.
Зауважимо, що для параболи
ця пряма є директрисою.