Выделение нетерминала

Преобразование, обратное замене, назовём выделением нетерминала.

Если грамматика содержит n правил вида В_i , где 1in, n правил А_i , где 1in и других правил с левой частью А нет, то n правил вида В_i , где 1in можно заменить одним правилом ВА .

Если грамматика содержит n правил вида В_i , где 1in, то их можно заменить одним правилом ВА , где А – новый нетерминал, и ввести n правил А_i , где 1in.

Если в правых частях правил грамматики встречается цепочка  , то её можно заменить на новый нетерминал А и ввести правило А.

Левая факторизация

Особым случаем выделения нетерминала является левая факториза-ция.

Если n2 правил грамматики имеют одинаковые левые части, допустим нетерминал А, и правые части начинаются одним или несколькими одинаковыми символами (имеют общий префикс ), т.е. i-ое правило имеет вид А_i, где 1in, то можно общий префикс  вынести в отдельное правило АВ, где В – новый нетерминал, и добавить n правил вида В_i, где 1in. Такое преобразование называется левой факторизацией. Результат применения левой факторизации неоднозначный, зависит от выбора префикса, выносимого в отдельное правило (например, в качестве префикса можно взять один символ или общий префикс наибольшей длины) и количества правил, участвующих в факторизации.

Пример 1.

Исходная грамматика	Первый шаг	Второй шаг
SabBa SabBb SabA BbB Bb Aa	SabC CBa CBb CA BbD DB D Aa	SabC CBE CA Ea Eb BbD DB D Aa

Пример 2.

Исходная грамматика	Первый шаг	Второй шаг
SabBa SabBb SabA BbB Bb Aa	SabBE SabA Ea Eb BbD DB D Aa	SabC CBE CA Ea Eb BbD DB D Aa

Пример 3.

Исходная грамматика	Первый шаг	Второй шаг	Третий шаг
SabBa SabBb SabA BbB Bb Aa	SaC CbBa CbBb CbA BbD DB D Aa	SaC CbE EBa EBb EA BbD DB D Aa	SaC CbE EBF EA Fa Fb BbD DB D Aa

Устранение левой рекурсии

Правило А называется рекурсивным, если существует вывод *А . Если  и , то правило А называется леворекурсивным. Правило называется самолеворекурсивным, если его край совпадает с левой частью. Самолеворекурсивное правило также является и леворекурсивным.

1. Исключение самолеворекурсивных правил.

Предположим, что нетерминал А имеет m самолеворекурсивных правил АА _i , где 1im, и n правил А _j , где 1jn, которые не являются самолеворекурсивными и других правил с левой частью А нет. Эти правила заменяются следующими:

А _jВ, где 1jn, В – новый нетерминал,

В _iВ, где 1im,

В

2. Исключение леворекурсивных правил.

Алгоритм исключения леворекурсивных правил.

1. Обозначить нетерминалы грамматики А₁, А₂,…,А_n, где n – количество нетерминалов.

2. Для каждого нетерминала грамматики А_i, где 1in, выполнить п.3 и 4.

3. Для каждого правила вида А_iА_j, где 1ji-1, выполнить замену края (новые правила необходимо учитывать при выполнении п.3).

4. Исключить самолеворекурсивные правила для нетерминала А_i (новые нетерминалы далее не рассматривать).

Алгоритм применим, если грамматика не имеет циклов (цепных правил) и -правил. Цепные правила и -правила могут быть удалены предварительно. Получающаяся грамматика без левой рекурсии может иметь -правила.

Пример.

Устранить левую рекурсию в грамматике:

А₁А₁аА₃

А₁А₂b

А₂А₁c

А₂А₃a

А₃А₁b

А₃c

Рассматриваем нетерминал А₁.

Правил вида А₁А₀ в грамматике нет, т.к. нет нетерминала А₀, поэтому замену края (п.3) не выполняем.

Исключаем самолеворекурсивное правило А₁А₁аА₃ , получаем грамматику:

А₁А₂bB₁

А₂А₁c

А₂А₃a

А₃А₁b

А₃c

B₁аА₃B₁

B₁

Рассматриваем нетерминал А₂.

Выполняем замену края в правиле А₂А₁с , получаем грамматику:

А₁А₂bB₁

А₂А₂bB₁c

А₂А₃a

А₃А₁b

А₃c

B₁аА₃B₁

B₁

Исключаем самолеворекурсивное правило А₂А₂bB₁c , получаем грамматику:

А₁А₂bB₁

А₂А₃aB₂

А₃А₁b

А₃c

B₁аА₃B₁

B₁

B₂bB₁cB₂

B₂

Рассматриваем нетерминал А₃.

Выполняем замену края в правиле А₃А₁b , получаем грамматику:

А₁А₂bB₁

А₂А₃aB₂

А₃А₂bB₁b

А₃c

B₁аА₃B₁

B₁

B₂bB₁cB₂

B₂

Выполняем замену края в правиле А₃А₂bB₁b , получаем грамматику: А₁А₂bB₁

А₂А₃aB₂

А₃ А₃aB₂bB₁b

А₃c

B₁аА₃B₁

B₁

B₂bB₁cB₂

B₂

Исключаем самолеворекурсивное правило А₃А₃aB₂bB₁b, получаем грамматику:

А₁А₂bB₁

А₂А₃aB₂

А₃cB₃

B₁аА₃B₁

B₁

B₂bB₁cB₂

B₂

B₃aB₂bB₁bB₃

B₃

Грамматика без леворекурсивных правил получена. Далее можем выполнить две одиночные замены и получим грамматику:

А₁ cB₃aB₂bB₁

А₃cB₃

B₁аcB₃B₁

B₁

B₂bB₁cB₂

B₂

B₃aB₂bB₁bB₃

B₃