6. Характеристики распределений

Характеристики положения центра распределения

случайной величины

Риск невозможно определить точно, поэтому при оценке риска важное значение имеют статистические методы, позволяющие определить наиболее вероятные величины риска. В статистике такие величины называются характеристиками положения центра распределения случайной величины. Наибольшую практическую значимость имеют три характеристики: математическое ожидание, медиана и мода.

Математическим ожиданием М(ξ) дискретной случайной величины ξ называется взвешенная сумма всех ее возможных значений с весовыми коэффициентами, равными вероятностям этих значений:

_.

Для непрерывной случайной величины имеющей плотность распределения f(х), математическое ожидание определяется формулой:

_.

Математическое ожидание является мерой центральной тенденции случайной величины, или средним по вероятности ее значением. В физическом смысле, точка с абсциссой х = М(ξ) является координатой центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и графиком плотности распределения.

Математическое ожидание имеет несколько важных свойств, выполняющихся как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:

М(С) = С,

где С — константа.

2. Добавление константы к случайной величине и ее умножение на константу приводят к аналогичным изменениям математического ожидания, т. е. для любых констант а, b и любой случайной величины ξ

.

3. Для любых случайных величин ξ и η математическое ожидание их суммы равно сумме их математических ожиданий:

.

4. Если случайные величины ξ и η независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий:

.

В некоторых случаях наиболее информативной характеристикой случайной величины является не средневероятное, а наиболее часто встречающееся ее значение. Такая характеристика называется модой. Распределение может иметь не один, а несколько локальных максимумов вероятности, — такое распределение называется мультимодальным, или полимодальным (рис. 4.16). Распределение с единственным максимумом плотности вероятности называется унимодальным. Для симметричных унимодальных распределений значения математического ожидания и моды совпадают.

Еще одна практически важная обобщенная характеристика распределения — медиана. Медианой случайной величины ξ называется такое значение q, для которого ξ с равной вероятностью принимает значения, меньшие q и большие q, т. е.

= = .

Рис. 4.15. Математическое ожидание Рис. 4.16. Мода распределения случайной

(М ) и медиана – случай несимметричного величины – случай бимодального распре-

Распределения деления

В случае непрерывной случайной величины прямая х = q делит фигуру, ограниченную функцией плотности, на две части с равными площадями.

Медиана, как и математическое ожидание, может рассматриваться в качестве характеристики общей тенденции случайной величины Для симметричных распределений медиана совпадает с математическим ожиданием, а если к тому же распределение унимодально, то и с модой. В частности, для нормального распределения математическое ожидание, медиана и мода равны параметру распределения а. Несовпадение медианы с математическим ожиданием служит простейшим признаком асимметричности распределения случайной величины (рис. 4.15).

Характеристики рассеяния случайной величины

Наряду с наиболее вероятным значением риска важное значение имеет разброс возможных значений риска относительно его центрального значения. Учет разброса показателей необходим и при решении задач социально-гигиенического мониторинга.

Наиболее распространенными характеристиками разброса случайной величины являются дисперсия и среднеквадратичное отклонение.

Дисперсия случайной величины ξ обозначаемая как D (ξ) (используются также обозначения V (ξ) и σ² (ξ)), характеризует наиболее вероятное значение квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания.

Для дискретной случайной величины, принимающей значения х_i с вероятностями р_i, дисперсия определяется как взвешенная сумма нитратов отклонений х_i от математического ожидания ξ с весовыми коэффициентами, равными соответствующим вероятностям:

D(ξ) =

Для непрерывной случайной величины ξ ее дисперсия определяется по формуле:

D(ξ) =

Дисперсия обладает следующими практически важными свойствами:

1. Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:

D(ξ) ≥ 0

2. Дисперсия постоянной величины равна 0:

D(C) = 0

где С — константа.

3. Дисперсия случайной величины ξ равна разности между математическим ожиданием квадрата этой случайной величины и квадратом математического ожидания ξ:

D(ξ) = M [ξ – M (ξ)]² = M(ξ²) – ( .

4. Прибавление константы к случайной величине не изменяет дисперсии; умножение случайной величины на константу а приводит к умножению дисперсии на а² :

D(aξ + b) = a² D(ξ),

где а и b — константы.

5. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

,

где ξ и η - независимые случайные величины.

Среднеквадратичным отклонением случайной величины ξ (используются также термин «стандартное отклонение») называется число σ(ξ) равное квадратному корню из дисперсии ξ:

.

Среднеквадратичное отклонение измеряет отклонение случайной нвеличины от ее математического ожидания в тех же величинах, в которых измеряется сама случайная величина (в отличие от дисперсии, размерность которой равна квадрату размерности исходной случайной величины). Для нормального распределения среднеквадратичное отклонение равно параметру σ. Таким образом, математическое ожидание и стандартное отклонение представляют собой полный набор характеристик нормального распределения и однозначно определяют вид плотности распределения. Для распределений, отличающихся от нормального, эта пара показателей не является столь же эффективной характеристикой распределения.

В качестве характеристики рассеяния случайной величины используется также коэффициент вариации. Коэффициентом вариации случайной величины ξ имеющей ненулевое математическое ожидание, называется число V (ξ) равное отношению среднеквадратичного отклонения ξ к ее математическому ожиданию:

V(ξ) =

Коэффициент вариации измеряет рассеяние случайной величины в долях ее математического ожидания и часто выражается в процентах от последнего. Этой характеристикой не следует пользоваться, если математическое ожидание близко к 0 или существенно меньше стандартного отклонения (в этом случае малые ошибки при определении математического ожидания приводят к высокой погрешности для коэффициента вариации), а также, если вид плотности распределении существенно отличается от гауссовского.

Коэффициент асимметрии (As) определяет 3-ю степень отклонении случайной величины от математического ожидания и определяется по формуле:

As (ξ) =

На практике этот показатель используется в качестве оценки симметричности распределения. Для любого симметричного распределения он равен 0. Если же плотность распределения несимметрична (что часто может иметь место при оценке риска смерти и рисков, связанных с загрязнением воды и воздуха), то положительный коэффициент асимметрии соответствует случаю, когда левое плечо кривой плотности круче правого, а отрицательный — случаю, когда правое плечо круче левого (рис 4.17).

Для асимметричных распределений стандартное отклонение не является хорошим показателем рассеяния случайной величины. Для характеристики рассеяния в этом случае можно использовать такие показатели, как квартили, квантили и процентили.

Первой квартилью случайной величины ξ, имеющей функцию распределения F(х), называется число Q₁ являющееся решением уравнения

F(Q₁) = 1/4

т. е. такое число, для которого вероятность того, что ξ принимает значения, меньшие Q₁, равна 1/4, вероятность того, что она принимает значения, большие Q₁ равна 3/4.

Второй квартилью (Q₂) случайной величины называется ее медиана, а третьей (Q₃) — решение уравнения

F(Q₃) = 3/4

Квартили делят ось абсцисс на 4 интервала: [-∞,Q₁], [Q_1, Q₂], [Q₂, Q₃] и [Q₃, + ∞] в каждый из которых случайная величина попадает c равной вероятностью, а фигуру, ограниченную осью абсцисс и графиком плотности распределения — на 4 области с одинаковой площадью. И интервале между первой и третьей квартилями сосредоточено 50% распределения случайной величины. Для симметричных распределений первая и третья квартили одинаково удалены от медианы.

Квантилью порядка р случайной величины ξ с функцией распределения F(х) называется число х, являющееся решением уравнения

F(х) = р.

Таким образом, квартили являются квантилями порядка 0,25, 0,5 и 0,75. Если порядок квантили р выражается в процентах, то соответствующие значения х называются процентилями, или р-процентными точками распределения.

На рис. 4.18 показаны, наряду с квантилями, 2,5- и 97,5-процентные точки распределения. Между этими точками сосредоточено 95% распределения случайной величины, поэтому заключенный между ними интервал называют 95 %-м доверительным интервалом среднего (в частности, при оценке рисков — 95 %-м доверительным интервалом риска).

Задача 2. Какие из перечисленных ниже сведений о случайной величине ξ позволяют отвергнуть предположение о том, что она распределена по нормальному закону:

а) ξ — дискретная случайная величина;

б) математическое ожидание ξ отрицательно;

в) распределение ξ унимодально;

г) математическое ожидание ξ не равно ее медиане;

д) коэффициент асимметрии ξ отрицателен;

е) стандартное отклонение ξ больше ее математического ожидания;

ж) ξ характеризует распределение продолжительности острых заболеваний органов дыхания на исследуемой территории;

з) ξ характеризует распределение продолжительности жизни на исследуемой территории;

и) медиана ξ не совпадает с центром интервала между первой и третьей квартилями.

Ответ: Предположение о нормальном законе распределения случайной величины несовместимо с утверждениями а), г), д), з), и).

Рис. 4.17. Зависимость между знаком Рис.4.18. Квартили и процентили:

коэффициента асимметрии и формой иллюстрация с помощью функции

функции плотности распределения

Многомерные случайные величины и их функции распределения

Многомерные случайные величины используются для описания комплексного эффекта множественных факторов риска, а в задачах социально-гигиенического мониторинга — для комплексного анализа факторов внешней среды и показателей здоровья.

Совокупность m функций, определенных на одном и том же про­странстве элементарных событий, называется т-мерной случайной величиной ξ = {ξ_1, …, ξ_m}. Многомерная случайная величина полностью определяется функцией совместного распределения вероятностей:

F (x₁, …, x_m) = P(ξ₁ ≤ x₁, … , ξ_m ≤ x_m),

удовлетворяющей следующим условиям:

1. 0 ≤ F (x₁, …, x_m) ≤ 1 (все значения многомерной функции распределения лежат в интервале от 0 до 1);

2. F(х₁, ..., х_т) — неубывающая функция по любому аргументу;

3. F(х₁, ..., х_т) стремится к 0, когда все ее аргументы стремятся к -∞;

4. F(х₁, ..., х_т) стремится к 1, когда все ее аргументы стремятся к +∞;

5. Если F_i(х_i) — функция распределения одномерной случайной величины ξ_i, то F(х₁, ..., х_т) стремится к F_i(х_i), когда все ее аргументы, за исключением x_i, стремятся к +∞.

Одномерные функции ξ₁ и ξ₂ называются независимыми, если их совместная функция распределения равна произведению одномерных функций распределения:

F(x₁, x₂) = F₁ (x₁) F₂ (x₂).

Представление о независимости одномерных случайных величин Необходимо для понимания понятия независимых испытаний (см. §2).