7.5. Турбулентный обмен в океане

Существенной чертой турбулентного перемешивания является то, что в процессе хаотического переноса объемов жидкости в разных направлениях помимо переноса количества движения осуществляется также перенос различных свойств жидкости: тепла, солей, взвешенных частиц, растворенных газов. Этот перенос осуществляется в направлении падения концентрации; таким образом, помимо турбулентного переноса количества движения возникает турбулентная теплопроводность и турбулентная диффузия.

Количественная оценка турбулентного переноса различных свойств жидкости была впервые дана Дж. Тэйлором (1915) и В.Шмидтом (1911, 1925). Выводы Тэйлора и Шмидта были дополнены А.В.Келлером (1930), который подчеркнул статистический характер процесса обмена и вывел формулу турбулентного обмена субстанцией через единицу площади в единицу времени

Q = - K ,

где коэффициент К называют коэффициентом турбулентного обмена субстанцией.

Под субстанцией понимается некоторая количественная характеристика жидкости, пропорциональная массе или количеству частиц в объеме. Примерами субстанции являются количество движения, количество тепла, количество солей.

Если рассматривать турбулентный поток количества движения, турбулентный поток тепла и турбулентный поток солей, то на основании предыдущей формулы можно записать:

Q_M = - K_M ; Q_T = - K_T ; Q_{S =} - K_S ,

где U – осредненная скорость, Т – температура, S – соленость, K_M, K_T и K_S – коэффициенты турбулентного обмена количеством движения, турбулентной теплопроводности и турбулентной диффузии.

Перенос субстанции турбулентным потоком приводит к изменению во времени количества субстанции в данном объеме жидкости. Для вывода закона этого изменения рассмотрим элементарный столб воды высотой δz и площадью основания, равной единице (рис. 9). Через верхнюю грань столба воды, лежащую на высоте z, за единицу времени проходит количество субстанции, равное Q = - K , через противоположную грань, лежащую на высотеz + δz, за единицу времени проходит количество субстанции, равное Q + δQ = - K +δz

Q = - K Рис. 9. К выводу уравнения обмена. Перенос субстанции через верхнюю и нижнюю грани выделенного объема

Разность между переносом субстанции через нижнюю грань и ее переносом через верхнюю грань выделенного столба жидкости представляет изменение количества субстанции во всем рассматриваем столбе за единицу времени.

Q + δQ = - K +δz

Эта разность равна изменению в единицу времени объемной концентрации субстанции, помноженной на объем столба жидкости, т.е.

· δz · 1 = δz

Относя это изменение, совершающееся в единицу времени, к единице объема, получаем уравнение обмена:

=

Оно написано в предположении, что перемешивание осуществляется только в одном направлении z. Учитывая потоки субстанции в направлении всех трех осей – x, y, z, полное уравнение обмена выглядит следующим образом:

+U+ V+W= + +

Здесь введена запись дифференциального оператора Эйлера:

= +U+ V+W

В случае изотропного обмена, т.е. при К = const, уравнение обмена записывается сокращенно = К·Δ·q, где Δ = ++- линейный дифференциальный оператор Лапласа.

В случае, когда в качестве субстанции рассматривается количество тепла, уравнение обмена = К·Δ·q превращается в уравнение теплопроводности Фурье

= К_Т·Δ·Т,

где К_Т – коэффициент турбулентной теплопроводности

В случае, когда в качестве субстанции рассматривается количество солей, уравнение обмена = К·Δ·q превращается в уравнение диффузии Фика

= К_S·Δ·S,

где К_S – коэффициент турбулентной диффузии.

Уравнение турбулентной теплопроводности и уравнение турбулентной диффузии имеют решающее значение в физической океанологии. Вместе с уравнением состояния, уравнением неразрывности, уравнениями движения и уравнениями притока тепла и солей они составляют основу для построения замкнутой системы термогидродинамических уравнений, являющихся основой для решения различных задач динамики океана.