Тема 5. Средние величины

Одним из этапов обработки статистических данных является расчет средних показателей, дающих обобщающую количественную характеристику изучаемого явления.

Средняя величина - это обобщающий показатель, характеризующий типический, свойственный для данной совокупности уровень явления. Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т. е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами.

Одним из важных условий расчета средних ветчин это качественная однородность единиц совокупности в отношении осредняемого признака. Средние величины, исчисленные для явлений разного типа могут затушевывать и искажать различия разнородных совокупностей.

Средние величины делятся на два больших класса:

1. Степенные средние;

2. Структурные средние.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.

В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

Остановимся на степенных средних. Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными.

Простая средняя считается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

Взвешенная средняя определяется по сгруппированным данным и имеет общий вид:

где - варианта (значение) осредняемого признака или середина интервала;

т - показатель степени средней;

п - число вариант;

- частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних:

1. Средняя гармоническая, если т = -1:

а) б)

2. Средняя геометрическая, если т → 0:

а) б)

3. Средняя арифметическая, если т = 1:

а) б)

4. Средняя квадратическая, если т = 2:

а) б)

5. Средняя кубическая, если т = 3:

а) б)

В статистической практике наиболее часто находят применение средние арифметические и средние гармонические взвешенные.

Структурные средние применяются для изучения внутреннего строения рядов распределения. Также они используются для определения средней величины, если по исходным данным ее расчет невозможен.

В качестве структурных средних чаще всего применяются показатели моды и медианы.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака.

В дискретном ряду мода определяется визуально по максимальной частоте или частости.

В интервальном ряду по наибольшей частоте определяется модальный интервал, а конкретное значение моды в интервале вычисляется по формуле:

где - нижняя граница модального интервала;

h - величина интервала;

- частота модального интервала;

- частота предмодального интервала;

- частота послемодального интервала.

Графически, мода определяется с помощью гистограммы.

Медиана – величина, делящая упорядоченную совокупность на две равные части.

В дискретном ряду распределения медиана, а в интервальном ряду - медианный интервал будут соответствовать первому значению признака (интервалу), накопленная частота которого превысит половинную сумму частот. Конкретное значение медианы для интервального ряда определяется по формуле:

По сгруппированным данным медиана определяется по следующей формуле:

где - нижняя граница медианного интервала;

h - величина интервала;

N – порядковый номер медианы, определяется как ;

- сумма накопленных частот предмедианного интервала;

- частота медианного интервала.

Графически, медиана определяется с помощью кумуляты.

Рассмотренные показатели (мода и медиана) раскрывают характер последовательного изменения частот, поэтому в анализе закономерностей распределения используются также ранговые (порядковые) показатели: квартили и децили.

Квартили - это значения вариантов, которые делят упорядоченный ряд по объему на четыре равновеликие части. Следовательно, в ряду распределения выделяют три квартиля. Расчет квартилей основывается на кумулятивных частотах (частостях), первый и третий квартили определяются по формулам:

Первый квартиль: ;

Второй квартиль: ;

Третий квартиль: .

Децили - значения вариантов, которые делят упорядоченный ряд по объему на 10 равных частей. В ряду распределения выделяют девять децилей (медиана - пятый дециль). Расчет децилей также основан на кумулятивных частотах (частостях) и определяется по формулам:

;

…

.