Шпоры via -=Gaf=- / Волновой пакет

9. Волновой пакет. Фазовая и групповая скорости. Связь между фазовой и групповой скоростями.

Суперпозиция определенных монохроматических волн частоты (омега) и длины волн (лямбда) которых лежат в определенном диапазоне, так что складываясь, эти волны дают амплитуду, отличную от нуля в ограниченной области пространства, за пределами которого, складываясь, дают нулевую амплитуду. Такая суперпозиция волн называется волновым пакетом.

S(x, t) = СУММА(по n) (Cn*Sn(x, t)), где S(x, t) – сложный волновой процесс, Sn(x, t) – простые волновые процессы (sin, cos)

S(x,t) = ИНТЕГРАЛ(от к нулвое-дельта к до к нулвое+дельта к) (A(k)*exp[i(omega*t-k*x)]*dk)

Для S(x,t) получается при следующих предпосылках:

• Диапазон (+-дельта к) мал, поэтому амплитуду А можно считать независящей от к A(k) =(тождественно) A нулевое (неравно) f(k)

• т к к и омега изменяются в небольшом диапазоне, то омега можно разложить: омега = (омега нулевое) + (d*омега/d*k) * (k – k нулевое)/1! + (d^2 * омега)/(d*k^2) * (k – k нулевое)^2/2!

и ограничится 2-мя первыми слагаемыми.

[(d*омега/d*k)нулевое] = (d*омега/d*k) |k = k нулевое

• Представим: k = k нулевое + (k - k нулевое)

• S(x,t) = ИНТЕГРАЛ(от к нулвое-дельта к до к нулвое+дельта к) ((A нулевое)* exp[i*{[omega нулевое + (d*omega)/(d*k) * (k - k нулевое)] * t – [k нулевое + (k - k нулевое)] * x}] * dk = (A нулевое) * exp(i*(omega нулевое * t - к нулвое * x) * ИНТЕГРАЛ(от к нулвое-дельта к до к нулвое+дельта к) (exp{i[(d*omega/dk)*t - x] * (k – k нулевое)}*dk)

обозначим: бета = (d*omega/dk)нулевое * t – x

k – k нулевое = кси (закорючка)

dk = d кси

ИНТЕГРАЛ(от к нулвое-дельта к до к нулвое+дельта к) (exp{i[(d*omega/dk)*t - x] * (k – k нулевое)}*dk) = ИНТЕГРАЛ(от -дельта к до +дельта к) (exp(i*бета*кси)*d*кси) = ИНТЕГРАЛ(от -дельта к до +дельта к) (cos(бета*кси) + i*sin(бета*кси))d*кси) = ИНТЕГРАЛ(от -дельта к до +дельта к) (cos(бета*кси) = 1/бетта * sin(бета*кси) |от -дельта к до +дельта к = 2/бета * sin(бета*дельта к) = 2*дельта к * sin(бета*дельта к)/ (бета*дельта к)

волновой пакет:

S(x, t) = 2*A*delta k * sin(гамма)/гамма * cos(omega нулевое*t – k нулевое*х)

2*A*delta k * sin(гамма)/гамма – модулированная амплитуда волнового пакета

при гамма -> 0 sin(гамма)/гамма -> 1

при гамма -> +-пи*n sin(гамма)/гамма -> 0

при гамма > пи*n ; гамма < -пи*n sin(гамма)/гамма << 1

рис. 5.