3. Объясните соотношение между волновой и геометрической оптиками на примере анализа методом зон Френеля дифракции света на непрозрачном диске и на круглом отверстии.
Пусть между точечным источником света S и экраном Э расположена непрозрачная ширма с отверстием диаметром d. Для точки М на экране отверстие откроет некоторое число k зон Френеля. Тогда амплитуда результирующей волны в точке М определится выражением:
А = А1/2 Аk/2, где знак плюс - для нечетного k и минус – для четного k; k – номер последней открытой зоны.
Суть метода зон Френеля в том и заключается, что он интегрирование заменяет алгебраическим суммированием и фактически подсчётом числа зон Френеля; при этом важной оказывается степень чётности этого числа зон Френеля.
При четном числе k зон Френеля, открываемых отверстием d для точки М, вследствие противофазности волн, посылаемых соседними щелями, результируюющая амплитуда в точке М будет минимальной. Получается нечто вроде парадокса - напротив отверстия на экране получаем тёмное пятно (минимум света).
Если же число k зон Френеля будет нечётным для точки М, в ней будет максимальная амплитуда: А = А1/2 + Аk/2. Здесь две половинки крайних нечётных зон Френеля оказываются нескомпенсированными и обусловливают максимум освещенности в точке М.
С перемещением точки М по экрану от центра число k зон Френеля, открываемых отверстием d для точки М будет изменяться. Соответственно при разных удалениях точки М от центра экрана будем наблюдать чередующиеся максимумы и минимумы освещенности, т. е. на экране будет иметь место интерференционная картина.
Н
Р
А = Аm+1/2 Аk/2 = Аm+1/2, так как Аk/2 0.
Интересно, что прямо против центра непрозрачного диска имеем светлое пятно, что противоречит положениям геометрической оптики, прямолинейности распространения света, образованию тени за непрозрачными препятствиями. В своё время этот парадокс (эффект Пуассона - Араго) был выдвинут французской академией наук в качестве одной из важнейших оптических проблем. Теоретически его обосновал Пуассон, а экспериментально проверил и подтвердил Араго.
При смещении точки М от центра по экрану число m зон Френеля, закрываемых диском для точки М, изменяется и, соответственно, изменяется освещенность экрана, т. е. максимумы сменяются минимумами, имеет место интерференционная картина.
На этом примере также можно проиллюстрировать предельный переход волновой оптики в геометрическую оптику. При увеличении размеров диска до значений, при которых он закрывает столь большое число зон Френеля, что первая открытая зона будет давать очень малую освещенность, всё поле пространства за экраном становится монотонно тёмным, превращаясь в обычную геометрическую тень. Лишь вблизи её границы будет наблюдаться слабая интерференционная картина. Таким образом, мы опять приходим к результату, что при d имеем дифракционное загибание света в область тени и образования там интерференционной картины, при другом же соотношении d , имеем прямолинейное распространение света и справедливость геометрической оптики.
4. Объясните вывод условий минимума и максимума при дифракции Фраунгофера на длинной и узкой щели. Как и почему положения максимумов зависят от длины волны света и угла рассеяния (дифрагирования) лучей щелью?
Ранее уже отмечалось, что в отличие от дифракции Френеля - в сходящихся лучах, дифракция Фраунгофера - в параллельных лучах, для своего наблюдения требует применения собирающей линзы, в фокальной плоскости которой и располагается экран, фиксирующий интерференционную картину.
П
З
Разность хода для крайних лучей, рассеянных щелью под углом равна: = bsin . (Линза считается таутохронной - не вносящей дополнительной разности хода в проходящие через неё лучи). Так как соседним зонам Френеля соответствует разность хода в /2, то вся щель раскроет для точки М число k зон Френеля, равное: k = (/2) = bsin (/2) = 2bsin .
Чётному числу k зон Френеля соответствует условие минимума освещённости для соответствующего угла : 2bsin = 2m bsin = m - условие минимума, где m .
При m = 0 все зоны светят в одной фазе (разность хода посылаемых ими волн равна нулю) и максимально усиливают друг друга - имеем центральный максимум в дифракционном спектре.
При нечётном числе k зон Френеля имеем для соответствующего угла наблюдения максимум освещенности (боковые максимумы в дифракционном спектре): 2bsin = (2m + 1)
bsin = (m + ½) - условие максимума, где m - порядок дифракционного максимума.
О
В белом свете центральный максимум остаётся белым, ибо его условие не зависит от значения длины волны. Боковые же максимумы для падающего на щель белого света окрашиваются и "разъезжаются" друг относительно друга тем сильнее, чем больше длина волны .
С увеличением длины волны угол , под которым наблюдается максимум m - го порядка увеличивается, т. к. большей соответствует большая необходимая разность хода , которая для своего обеспечения требует большего угла . Дифракционный спектр щели при этом растягивается, максимумы становятся шире и разносятся на большие углы.
С увеличением ширины щели b угол , под которым наблюдается максимум m - го порядка уменьшается, т. к. необходимая разность хода у более широкой щели достигается при меньшем угле отклонения . Дифракционный спектр при этом сжимается, максимумы становятся более узкими.
5. Дайте сравнительную характеристику картинам дифракции Фраунгофера на щели и решетке. Как выводятся условия для добавочных минимумов, и как, и почему их положение зависит от числа щелей в решетке?
Под дифракционной решеткой понимают спектральный оптический прибор, представляющий собой систему длинных и узких щелей или штрихов. Картина дифракции Фраунгофера на такой системе усложняется по сравнению с дифракционным спектром одной щели вследствие явления межщелевой интерференции света. Условие минимума для одной щели bsin = m сохраняется в качестве такового и для решётки в целом, ибо понятно, что если, под некоторым углом свет не посылает ни одна из щелей, то его под данным углом не посылает и решетка в целом. Условие же максимума для одной щели не может быть сохранено в качестве такового для решетки в целом, ибо, хотя каждая из щелей и посылает свет под некоторым углом, но в результате интерференции свет от отдельных щелей может гасить друг друга и давать в итоге минимум (свет плюс свет даёт тьму). Поэтому для более детального анализа картины дифракции Фраунгофера на решётке изобразим ход лучей, рассеянных ею под некоторым углом .
М
Главные максимумы в спектре дифракционной решётки воспроизводятся в виде узких световых полосок, называемых спектральными линиями.
Наложение межщелевой интерференции на картину дифракции от одной щели проявляется ещё и в появлении добавочных минимумов. Они наблюдаются под углами, соответствующими условию: dsin = р, где - полное число щелей в решётке и dsin - полная разность хода лучей, посылаемых краями (началом и концом) решётки под углом . Число р принимает целочисленные значения, исключая 0 и кратные числу щелей N в решётке, т. к. при этих значениях имеют место соответственно центральный и боковые главные максимумы.
При р = 1, dsin = р полная разность хода лучей посылаемых началом и концом решётки равна длине волны , значит первая половина щелей светит в противофазе второй половине и имеет место взаимопогашение, т. е. минимум (добавочный) в спектре решётки.
При р = 2 полная разность хода составляет 2. Здесь взаимно погашают друг друга волны света, посылаемые первой и второй четвертями всех щелей решётки, а также третей и четвёртой четвертями всех щелей, т. е. опять имеет место минимум.
П
Между добавочными минимумами размещаются добавочные максимумы. В целом дифракционный спектр решётки будет иметь следующий вид:
Этот спектр, как и спектр отдельной щели, симметричен относительно центрального максимума, который несёт в себе основную интенсивность света соответствующей длины волны. Боковые максимумы быстро убывают по интенсивности с ростом их номера.
В белом свете центральный максимум остаётся белым, а боковые максимумы окрашиваются Волны с большими длинами отклоняются на большие углы. Это отличает дифракционный спектр от призменного, где сильнее отклоняются волны с большей частотой, т. е. с меньшей длиной волны.