6. Двухуровневое описание дискретного канала

При решении ряда задач, связанных с исследованием вероятностно-временных характеристик систем передачи (в частности, систем, использующих блочные коды), целесообразно двухуровневое описание дискретного канала: модель первого уровня описывает последовательность ошибок по символам и применяется для оценивания и расчета параметров модели второго уровня, аппроксимирующей последовательность искаженных m-разрядных кодовых комбинаций/блоков информации . Переход от статистики ошибок к статистике искаженных блоков позволяет выявить закономерности, упрощающие математическое описание всей системы в целом.

Если для описания первого уровня канала использовать полную модель, например марковскую цепь с N состояниями, то структура второго уровня определяется однозначно и в указанном случае может быть описана также марковской моделью с тем же числом состояний N, параметры которой могут быть определены через параметры модели первого уровня.

В инженерной практике для описания первого уровня достаточно часто используют частичную модель, например двухпараметрическую модель Пуртова, по значениям параметров которой имеются подробные и надежные экспериментальные данные для многих видов каналов. В этом случае структура второго уровня может быть описана биномиальной моделью в предположении, что кодовые блоки искажаются независимо. Однако в реальных каналах группирование ошибок в последовательности приводит, как правило, к зависимому характеру искажения передаваемых блоков/кодовых комбинаций. Поэтому более точной аппроксимацией структуры второго уровня является простая цепь Маркова с двумя состояниями: S₀ - кодовый блок не содержит ошибок; S₁ - кодовый блок принят с ошибкой. Параметры цепи Маркова могут быть определены через параметры частичной модели первого уровня из следующих очевидных соотношений:

где P(1,m)=P₁ - вероятность искажения блока; P(0,m)=P₀ - вероятность правильного приема блока; P(1,2m) - вероятность возникновения ошибки на длине двух блоков; P(0,2m) - вероятность правильного приема двух последовательных блоков. Так как для стационарной цепи Маркова

P₁ p₁₀ = P₀ p₀₁,

то с учетом этого

.

Используя параметры модели Пуртова: p - вероятность искажения двоичного разряда и  - коэффициент группирования

P(1,m)=m^1-p , при np << 1,

имеем следующие соотношения для расчета переходных вероятностей:

,

.

Дальнейшее повышение точности аппроксимации структуры второго уровня может быть достигнуто, если цепью Маркова описывать не поток искаженных блоков, а последовательность состояний канала, каждое из которых характеризуется условной вероятностью искажения блока. При этом поток искажений становится марковской функцией и описание второго уровня приобретает форму общей марковской модели. Но в этом случае ограниченное информационное содержание частичного описания не позволяет определить параметры марковской модели без дополнительных сведений о канале. Если использовать гипотезу о геометричности распределения длин серий искаженных блоков, то на основе частичной модели можно определить параметры аналога модели Гильберта для второго уровня.

Применение цепи Маркова с двумя состояниями обусловлено тем, что частичное описание первого уровня не позволяет определить параметры цепей второго уровня с большим числом состояний. Однако для большинства практических задач такая аппроксимация вполне приемлема, поскольку структура памяти канала на блоковом уровне значительно проще, чем на битовом, так как вероятность перекрытия одним пакетом ошибок трех и более блоков сравнительно невелика и резко уменьшается с увеличением длины блока. В частности, полученные соотношения для расчета переходных вероятностей цепи Маркова с двумя состояниями через параметры p,  справедливы, по крайней мере, при 10<m<500, 0<<1, 0<p<0,5.