4. Общие математические схемы построения моделей потока ошибок

Сколь угодно хорошего согласия модели с экспериментальными данными можно достичь с помощью наиболее универсальных способов — через многомерные распределения или многомерные переходные вероятности, посимвольные или интервальные. Однако сложность их задания и использования заставляют искать более удобные средства описания — через систему одномерных распределений или одномерных переходных вероятностей. Анализ возможных способов описания двоичных последовательностей позволил определить три основные математические схемы построения модели стационарного источника ошибок.

Описание потока ошибок на основе цепей Маркова — схема М. Случайный процесс, который может находиться в одном и только в одном из N несовместных состояний S₀ S₁ ... S_N-1 и эти состояния могут меняться/сохраняться только в фиксированные моменты времени ...t_-1 t₀ t₁ ... t_i ..., является k-связной цепью Маркова, если вероятность того или иного состояния в каждый момент времени t_i зависит только от того, какие k состояний ему предшествовали. Односвязную цепь Маркова, для которой вероятность текущего состояния определяется только тем, какое состояние ему предшествовало, называется также простой цепью Маркова.

Пусть дискретный канал находится в одном из N возможных состояний S₀ S₁... S_N-1, представляющих собой простую цепь Маркова. Для описания простой цепи Маркова — статистики состояний необходимо задать матрицу условных/переходных вероятностей p_ij=p(s_j /s_i ) того, что случайный процесс в определенный момент времени (на определенном шаге) перейдет из состояния S_i в состояние S_j — матрицу переходов:

,

элементы которой удовлетворяют условию:

.

В общем случае вероятности p_ij зависят от номера шага t_i , и цепь Маркова называется неоднородной. Если матрица переходов не зависит от t_i , то цепь Маркова называется однородной. Рассматриваются однородные цепи Маркова (в силу стационарности описываемых процессов).

Для полного описания статистики необходимо задать еще и вероятности состояний на начальном шаге — вектор начальных вероятностей:

Если предположить, что безусловные вероятности состояний P(s_i) не изменяются с течением времени (цепь Маркова стационарна), т.е. P(s_i)=P_i , то вероятности P_i могут быть определены из следующей системы марковских уравнений:

Статистика ошибок в канале является функцией цепи Маркова и для ее описания необходимо задать дополнительно условные вероятности ошибки в каждом состоянии — вектор ошибок:

Вероятность ошибки в канале определяется выражением:

В частных моделях, использующих данную схему представления, обычно состояния канала разделяют на две группы, в одной из которых вероятности ошибок значительно ниже, чем во второй. Состояния первой группы называют хорошими, второй — плохими. В общем случае в различных состояниях вероятности ошибок различны. Если предположить, что ошибки возможны лишь в плохих состояниях и их вероятности равны 1, то плохие состояния соответствуют искаженным символам, а хорошие — неискаженным. Статистика ошибок в этом случае представляет собой цепь Маркова и полностью задается матрицей переходов.

Описание потока ошибок на основе процессов восстановления — схема В. В основу этой схемы положено описание случайных двоичных последовательностей посредством задания распределений не для самих символов, а для длин их серий/пакетов и интервалов между ними. В общем случае последовательность разбивается на отрезки двух видов — пакеты ошибок и интервалы между пакетами. Пакет ошибок, в свою очередь, состоит из серий подряд идущих ошибок и правильных символов, где длина последних не превышает заданной величины. В пределах пакета ошибки независимы и имеют условную вероятность ₁. В интервалах/промежутках между пакетами ошибки появляются также независимо с вероятностью . При ₀=0 промежутки представляют собой серию правильно принятых символов. Число позиций в пакете l, l=1,2... и в промежутке , =1,2... называют их длинами. Длины интервалов между пакетами  и длины пакетов l независимы в совокупности и описываются распределениями вероятностей P(), P(l). Таким образом, описание двоичного случайного процесса заменяется описанием однозначно отображающих его процессов и , элементы которых, в общем случае, принадлежат счетному множеству, и статистика ошибок полностью определяется одномерными распределениями P(), P(l) и условными вероятностями ₀, ₁.

Вероятность ошибки в канале определяется следующим образом:

где — средние длины пакета и промежутка; p_S — вероятность попадания символа в пакет; p_П — вероятность начала пакета или равная ей вероятность начала промежутка (на отрезке длиной в среднем возникает один пакет и один промежуток).

При таком представлении канал имеет как бы два состояния: плохое — пакет ошибок и хорошее — промежуток между пакетами. Последовательность смены этих состояний является процессом восстановления c конечным временем. Термин заимствован из теории надежности. Если плохое состояние рассматривать как повреждение и восстановление некоторой системы, а хорошее — как состояние ее исправности, то в терминах теории надежности процесс восстановления с конечным временем соответствует системе, в которой длительности как восстановления, так и исправного состояния являются ненулевыми величинами и вероятности того, что эти состояния продлятся то или иное время, не зависят ни от длительности предшествующих состояний, ни от времени их возникновения. Такой случайный процесс полностью определяется одномерными распределениями P() и P(l). Если ₀=0, ₁=1, то процессом восстановления с конечным временем описывается последовательность ошибок . При ₀=₁ имеем канал с независимыми ошибками.

Частным случаем процессов восстановления с конечным временем являются процессы с мгновенным восстановлением, когда предполагается, что каждое повреждение устраняется (система восстанавливается) мгновенно (две смежные единицы означают два различных повреждения), а случайные величины ₀, ₀=0,1,2... — длины интервалов между единицами независимы в совокупности и имеют одинаковое распределение P(₀), т.е. вероятность того или иного времени до следующего повреждения не зависит от предыстории. При описании статистики ошибок процессом с мгновенным восстановлением она полностью определяется распределением P(₀) — длин интервалов между ошибками. Последний можно рассматривать как частный случай процесса восстановления с конечным временем, для которого P(l) геометрично. Если для процесса с мгновенным восстановлением P(₀) геометрично, то процесс является процессом с независимыми значениями.

Описание потока ошибок на основе процессов накопления — схема H. Данная схема отличается допустимостью перекрытия пакетов. Физически перекрытие пакетов обусловливается наложением нескольких мешающих воздействий, приводящих к неоднородным образованиям ошибок, сильно различающимся по структуре и длине. Для описания таких образований удобно использовать представление о существовании независимо возникающих воздействий, приводящих к независимым однородным образованиям искаженных символов, способным перекрываться, т.е. представление о перекрывающихся пакетах ошибок.

При таком представлении любая позиция может стать началом пакета. Предполагая, что в отличие от схемы B независимыми случайными величинами являются длины интервалов между началами пакетов , =0,1,... и длины пакетов l, l=1,2..., имеющие распределения вероятностей P() и P(l), допускаем перекрытие и примыкание пакетов (длина пакета может быть больше длины интервала от его начала до начала следующего пакета). Процесс возникновения и окончания таких пакетов относится к числу процессов накопления и полностью определяется двумя одномерными распределениями P(), P(l).

В пределах каждого отдельного пакета ошибки независимы и имеют вероятность  (вообще говоря, можно предположить возможность независимых ошибок с малой вероятностью и вне пакетов). Тогда статистика ошибок по схеме H полностью определяется одномерными распределениями длин пакетов P(l) и интервалами между началами пакетов P() и вероятностью ошибки в пакете . Возможность перекрытия пакетов существенно усложняет расчеты многих характеристик канала и в общем случае приводит к весьма громоздким вычислениям.

Рассмотренные общие схемы предлагают, вообще говоря, различные представления и средства описания потока ошибок в канале. Однозначно указать ту из них, которая наиболее эффективно аппроксимировала бы реальную статистику ошибок и была бы наиболее удобна для расчетов затруднительно. Все зависит от критерия точности аппроксимации. При определенных условиях эти схемы эквивалентны друг другу и многие существующие модели можно рассматривать как частные случаи различных схем. Степень группирования ошибок в канале при посимвольном описании на основе схемы M отображается надлежащим выбором числа состояний N и переходных вероятностей, при интервальном описании на основе схем B и H — надлежащим выбором распределений P(), P(l). При использовании схемы M интервальные распределения непосредственно не выбираются, однако, увеличивая N, можно аппроксимировать практически любые представляющие интерес распределения P(), P(l).