13)Становление модальной логики, нормальные модальные исчисления.

П ервая логическая теория, исследующая выводы из мод. высказываний, была создана Аристотелем. Язык аристотелевской силлогистики содержал аподиктические высказывания(о необходимо присущем и о необходимо не присущем) и проблематические высказвания(о возможно присущем и возможно не присущем). Аристотель различал 2 вида модальностей возможно – одна из них сродни современному пониманию возможно, другая сродни современному пониманию случайно. Для проверки силлогизмов, содержащих внешнюю модальность, схоласты сформулировали специальное правило: модальность заключения не может быть сильнее, чем в слабейшей по модальности посылке. Самой сильной модальностью являлась необходимость, второй по силе – модальность ассерторического высказывания, а самой слабой – возможность. Была идея построить модальную логику Лукасевича –А А А

1 1 1

1/2 0 1

0 0 0

П арадокс мод. логики: А В, А

В

п ример парадокса: число планет =9, 9 необходимо > 7

число планет необходимо > 7

Но мы знаем, что число планет не необходимо >7.

Л ьюис – предтеча мод. логики. Он хотел отказаться от . ¬ (А&¬В) – строгая . А ¬(А ¬А). А ¬А А. Но парадокс остался: А (В А); ¬А (А В).

Нормальные сис-мы пропозициональной модальной логики. Пропозициональной – т.к не будем рассматривать мод. логику предикатов. Нормальные – такие сис-мы, в которых действует правило Гёделя: ˫А если бы было А , то А А

˫ А А

Геделю удалось переформулировать льюисовское исчисление S4.

A ¬ ¬A;

A ¬ A&¬ ¬A; A ¬ ¬ A

Аксиомы:

1)аксиома теории к

2)теория Т. К+Т=Т

3)К+D=D – деонтические модальности.

4)S4+T=S4

5)S5+T=S5

6)T+B=B(сис-ма Брауэра)

6 основных сис-м мод. логики. S4 – одна из самых распространенных. Эквивалентные преобразования в этой сис-ме: … С ; …. С С. В этой сис-ме конечное количество модальностей: ¬, ¬, ¬ ,¬ , ,

S 5: C C

П равила- модус поненс и правило Гёделя.

Т

D

К

S 4

S5

B

14. Семантика возможных миров для нормальных модальных исчислений.

П ри построении семантики алетической мод. логики мощную эвристическую роль сыграла восходящая к Лейбницу идея возможных миров. Согласно Лейбницу, окружающая нас реальность – действительный мир – не является единственно возможным. Мы можем представить себе иную реальность, в которой какие-то ситуации, отсутствующие в нашем мире, имеют место, а некоторые, имеющие место в нашем мире, отсутствуют. Лейбниц считал действительный мир наилучшим из возможных. Семантика Крипке( формулируются условия истинности и ложности мод. ф-л). w_{0 –} данный, действительный мир, w_n – возможный мир(такое скопление фактов, которое представляется возможным). w₀R w_n – отношение достижимости мира w_n из мира w_0. А w₀

А w₁ А w₂

Модельная структура - <W, w₀,R²,I>

1 )W . 2) w₀ W(наш мир один из возможных). 3)R W² - W W(<w₀,w₁>,<w₀, w₂>)

4)I²(P(ф-ла в возможном мире), w) {и,л} т.е. I:{p} W {и,л}. I – ф-ция оуенки для произвольных формул(ф-ция приписывания значений).

|p|_w=и I(p,w)=и. аналогичные условия истинности и ложности для &,¬, ˅. |A B|_w=и |A|_w=и |B|_w=и |A|_w=л |B|_w=и.

| А|_w=и w₁(wRw₁ |A|_w1=и). Аналогично задаются условия истинности и ложности для других формул. Ф-ла истинна в модельной структуре <W, w₀,R²,I> е.и.т.е она и в выделенном действительном мире w₀.Ф-ла общезначима, если она истинна в любой модельной структуре. Все это семантика для сис-мы К. Адекватные семантики для других нормальных модальных систем могут быть получены за счет наложения доп. ограничений на отношение достижимости R в модельных структурах <W, w₀,R²,I>. Доп.ограничения:

Т-рефлексивность wR(w,w) – любой мир достижим из самого себя.

D – сериальность ₁ w₂R(w₁,w₂)

S4 – рефлексивность + транзитивность. wR(w,w);

w₁ w₂ w₃((R (w₁,w₂)&R(w₂,w₃)) R(w_1,w₃))

S5 – рефлексивн.+симметричность+транзитивность. w₁ w₂(R(w₁,w₂) R(w₂, w₁))

B – рефлексивность + симметричн.

˫ _тА ǀ=_тА; ˫_{т А А} ǀ=_т А А – семантика адекватна исчислению, доказуемые в исчислении ф-лы являются законами мод. логики.| A A|w₀=и – имеет место в любой модельной структуре.