Основные теоремы задач линейного программирования

Теорема 1. Если ограничения ЗЛП имеют допустимое решение, то они имеют и базисное решение.

Теорема 2. Базисных допустимых решений не больше, чем .

Теорема 3. Допустимая область является выпуклым множеством.

Теорема 4. Базисные допустимые решения соответствуют вершинам выпуклого множества.

Теорема 5. Все вершины выпуклого множества соответствуют базисным допустимым решениям.

Теорема 6. (Основная теорема ЗЛП). Оптимальное решение определяется допустимым базисным решением: если существует оптимальное решение ЗЛП, то существует и базисное оптимальное решение.

Если задача линейного программирования содержит только две переменные, то ее можно решить геометрическим (графоаналитическим) методом. Этот метод основан на следующих положениях.

I. Геометрически каждое решение неравенства можно представить как точку на плоскости . Тогда множеством решений или, иначе говоря, областью решений неравенства является полуплоскость, расположенная выше или ниже прямой, описываемой уравнением .

Если задана система линейных неравенств с двумя переменными:

то областью решений будет служить некоторый многоугольник, образованный пересечением полуплоскостей, соответствующих области решения каждого неравенства системы.

Заметим, что область решений системы неравенств может быть и неограниченной; и пустой, когда система неравенств противоречива.

Пример 1. Найти область решений неравенства

.

Построим прямую

-5

2

0

х

у

на плоскости оху. Для этого найдем точки пересечения прямой с осями: имеем при ; при .

Решением уравнения являются точки, принадлежащие этой прямой. Теперь рассмотрим строгое неравенство

.

Для того чтобы выяснить, какая полуплоскость служит областью решения этого неравенства, решим его относительно переменной у:

.

Отсюда следует, что областью решения неравенства является полуплоскость, расположенная ниже прямой (показано штрихами вниз).

Другой способ нахождения области решения неравенства заключается в использовании контрольной точки. Обычно за нее берется начало координат. Подставляя и в неравенство, получим . Так как полученное выражение справедливо, то точка с координатами (0,0) включается в область решения неравенства и, следовательно, искомой областью решения служит полуплоскость ниже прямой, включая и прямую.

II. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то линейная функция принимает оптимальное значение в одной из угловых точек многоугольника решений.

Каким образом найти эту точку покажем на примере 2.

Пример 2. Определить экстремумы функции

при системе ограничений:

Решение.

1. Разрешим каждое неравенство системы относительно х₂; получим систему ограничений:

2. Заменим каждое неравенство системы ограничений равенством. Получим систему.

На системе построим графики прямых системы и, учитывая знак неравенства в системе, заштрихуем соответствующую полуплоскость относительно построенной прямой.

3. Многоугольник АВСDЕ, в котором сошлись штриховки всех полуплоскостей, образует область допустимых решений.

4. Далее на этой же системе координат построим -вектор возрастания целевой функции , и прямую F=0, то есть или .

Будем перемещать F=0 параллельно самой себе в направлении вектора (т.е. снизу вверх) до тех пор, пока прямая не выйдет из ОДР. Зафиксируем ту вершину многоугольника АВСDЕ, через которую F = 0 выходит из ОДР. Такой вершиной является С.

Определим ее координаты. Для этого решим систему уравнений двух прямых, пересечением которых является точка

С

Подставим координаты т. С (2; 4) в уравнение целевой функции F. Вычислим

.

5. Чтобы определить минимум целевой функции F, построим вектор - вектор убывания F.

Теперь будем перемещать F=0 параллельно самой себе в направлении вектора , то есть сверху вниз через ОДР до тех пор, пока прямая F=0 не станет выходить из ОДР. Зафиксируем ту вершину многоугольника АВСDЕ, через которую F=0 выходит из ОДР в направлении . Такой вершиной является точка А(1; 2). Подставим ее координаты (1; 2) в уравнение целевой функции F.

Вычислим

.

Пример 3. Составить экономико-математическую модель следующей задачи.

Для выпуска изделий двух типов А и В на заводе используется сырье 4-х видов: I; II; III; IV. Расход сырья каждого вида на изготовление единицы продукции задан таблицей. Запасы сырья составляют I вида - 19 единиц; II вида - 13 единиц; III вида - 15 единиц; IV вида - 18 единиц. Выпуск одного изделия типа А приносит 7 денежных единиц, а одного изделия типа В - 5 денежных единиц.

Виды сырья	Запасы сырья	Виды изделий
		А	В
I	19	2	3
II	13	2	1
III	15	0	3
IV	18	3	0
Доходы		7	5

Составить план производства, обеспечивающий наибольшую прибыль.

Решение.

1. Пусть - количество изделий типа А;

- количество изделий типа В.

2) Целевая функция (линейная форма), максимум которой следует определить:

.

3) Система ограничений на расход сырья примет вид: