2. Первоначальное распределение поставок

методом учета наименьших затрат

Сначала заполняют поставками те клетки, в которых тариф самый наименьший. Затем переходят к заполнению тех клеток, тариф которых увеличился на наименьшую величину и так далее.

Пример 2. Выполнить распределение поставок с учетом наименьших затрат для ТЗ в примере 1.

1. Составим таблицу.

Потребители Поставщики	В1	В2	В3	В4
	50	70	40	40
А1 – 70	5 -	2 70	3 -	6 -
А2 – 80	4 40	3 0	5 -	7 40
А3 – 50	2 10	4 -	1 40	5 -

2. Распределим поставки с учетом наименьших затрат.

Выберем клетки с наименьшими тарифами. Такими клетками являются – одна клетка (3; 3), с тарифом 1. Заполним ее поставкой: . Так как спрос третьего потребителя удовлетворен, то клетки (1; 3) и (2; 3) мысленно вычеркиваем. У третьего поставщика осталось 10 единиц груза. Далее выбираем клетки с тарифами 2. Таковыми являются клетки (1; 2) и (3; 1). Поставки: в клетку (1; 2): ; в клетку (3; 1): . Спрос второго потребителя выполнен, значит, мысленно вычеркиваем клетки (2; 2) и (2; 3). Мощности первого и третьего поставщиков изъяты полностью, значит, мысленно вычеркиваем клетки (1; 1), (1; 4) и (3; 4). Далее выбираем клетку (2; 1) с оставшимся наименьшим тарифом в 4 - . Спрос первого потребителя удовлетворен, у второго поставщика осталось еще 40 единиц груза. Невычеркнутой осталась клетка (2; 4) с тарифом 7. В нее заполним поставку четвертому потребителю от второго поставщика - .

Проведем контроль.

1. Баланс сохранен.

2. Число заполненных клеток: 5 – условие не выполнено. В этом случае в произвольную клетку, например, (2;2) дадим поставку равную 0. Тогда число заполненных клеток поставками будет равно 6, то есть столько, сколько должно быть.

Ответ: опорный план

3. Нахождение оптимального плана распределение поставок

методом потенциалов

Метод потенциалов служит для определения оптимальности полученного распределения поставок.

Потенциалы вводят для поставщиков: V_i и для потребителей: U_j. Всего потенциалов будет:

.

Для получения значений потенциалов пользуются следующим правилом.

Оценка клетки это сумма потенциала поставщика, потенциала потребителя и тарифа для заполненной клетки равна нулю.

Для заполнения значений потенциалов дополняют таблицу 1 горизонтальной строкой снизу для U_j и вертикальным столбцом справа - для V_i. Так как значений потенциалов , а число заполненных клеток , то одно значение U_j или V_i берут равным нулю. Выбирают то, против которого наибольшее число заполненных клеток.

Продемонстрируем решение по условию примера 1.

Построим таблицу.

Bj Ai	В1	В2	В3	В4	Vi
	50	70	40	40
А1 – 70	5 50	2 20	3 (-1)	6 (-2)	0
А2 – 80	4 (-2)	3 50	5 30	7 (-2)	-1
А3 – 50	2 (0)	4 (5)	1 10	5 40	3
Uj	-5	-2	-4	-8

Пусть нулю равно значение V₁, т.е. . Тогда согласно правилу, получим: оценка клетки (1; 1) равна:

оценка клетки (1; 2) равна:

оценки других клеток равны:

Далее находятся оценки свободных клеток по формуле

.

Эти оценки могут иметь значения меньше нуля, равны нулю или больше нуля.

Для нашего примера оценки незаполненных клеток равны:

	оценки клеток внесены в таблицу 3 – записаны в кружках.

Проверяем критерий оптимальности: опорный план оптимальный, если оценки всех свободных клеток неотрицательны.

Опорный план, построенный по методу «Северо-западного угла» не являет оптимальным, так как есть оценки клеток меньше нуля. Для получения оптимального плана следует выполнить перераспределение поставок. Для этого строят цикл для клетки с наименьшей отрицательной оценкой.

Определение. Циклом называется замкнутый многоугольник, стороны которого вертикальные или горизонтальные отрезки; одна вершина, для которой строится цикл, свободна, а все остальные вершины – заполнены поставками.

Вершине, для которой строится цикл, присваивается номер 1, а остальные нумеруются порядковыми числами 2, 3 и так далее по часовой или против часовой стрелки. По построенному циклу перемещаем минимальный груз из четных клеток в нечетные.

Полученное перераспределение заносим во вновь построенную таблицу. И так до тех пор, пока не получим оптимальное распределение поставок, то есть пока оценки всех клеток получатся неотрицательными.

Построение цикла проиллюстрируем на примере построения цикла для клетки (2;1).

№2 (1; 1) (50) 0 №3 (1; 2) (20) 70

№1 (2;1) (0) 50 №4 (2; 2) (50) 0

.

Так как освободилось две клетки, а должна освободится только одна, то оставим нулевую поставку, например, в клетке (2; 2).

Заносим новый план в таблицу.

Bj Ai	В1	В2	В3	В4	Vi
	50	70	40	40
А1 – 70	5 (2)	2 70 (0)	3 (-1)	6 (-2)	1
А2 – 80	4 50 (0)	3 0 (0)	5 30 (0)	7 (-2)	0
А3 – 50	2 (2)	4 (5)	1 10 (0)	5 40 (0)	4
Uj	-4	-3	-5	-9

Проводим контроль:

1. Баланс – сохранен.

2. Число заполненных клеток – 6 – выполнено.

По методу потенциалов определяем оценки клеток полученного распределения. Так как есть отрицательные оценки, то полученное распределение не является оптимальным. Можно построить циклы для клеток (1; 4) или (2; 4).

Опять построим цикл для клетки (2; 4), т. к. он проще:

№4 (2; 3) (30) 0 №1 (2; 4) (0) 30

№3 (3;3) (10) 40 №2 (3; 4) (40) 10

.

Занесем новое распределение поставок в таблицу.

Bj Ai	В1	В2	В3	В4	Vi
	50	70	40	40
А1 – 70	5 (2)	2 70 (0)	3 (1)	6 (0)	1
А2 – 80	4 50 (0)	3 0 (0)	5 (2)	7 30 (0)	0
А3 – 50	2 (0)	4 (1)	1 40 (0)	5 10 (0)	2
Uj	-4	-3	-3	-7

Проведем контроль:

1. Баланс – сохранен.

2. Число заполненных клеток – выполнено.

Так как оценки всех клеток неотрицательны, то полученное распределение поставок является оптимальным.

Ответ:

;

Примечание.

Так как среди оценок незаполненных клеток есть оценки, равные нулю, например в клетках (1; 4), (3; 1), то построенный оптимальный план не единственный. В этом случае можно построить циклы для этих клеток и получить другие оптимальные распределения, но при этом все они будут иметь одни и те же минимальные транспортные издержки, для нашей задачи 640 условных денежных единиц.