Общие сведения о системах массового обслуживания

Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система, предназначенная для обслуживания каких-либо заявок (требований), поступающих в случайные моменты времени.

Любое устройство, занимающееся обслуживанием заявок, называется каналом обслуживания. СМО бывают:

1) одноканальные (билетная касса с одним кассиром) и многоканальные (касса с несколькими кассирами);

2) с отказами (если все каналы заняты, заявка получает отказ и покидает СМО) и с очередью (если все каналы заняты, заявка становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал).

Число мест в очереди m может быть ограниченным или неограниченным. При m = 0 СМО с очередью превращается в СМО с отказом. СМО с очередью различаются по дисциплине обслуживания: обслуживаются ли заявки в порядке поступления, в случайном порядке или некоторые заявки обслуживаются вне очереди.

СМО переходят из состояния в состояние под действием потоков заявок и их обслуживания. Если эти потоки пуассоновские, то СМО называется простейшей. Мы будем рассматривать в дальнейшем только простейшие СМО. Тогда интенсивность потока заявок  равна среднему числу заявок, поступающих в СМО в единицу времени, а интенсивность потока обслуживания  равна среднему числу заявок, обслуживаемых в единицу времени, то есть  = , где - среднее время обслуживания одной заявки.

О работе СМО судят по характеристикам эффективности. Укажем наиболее часто употребляемые из них.

А - абсолютная пропускная способность СМО, то есть среднее число заявок, обслуживаемое СМО в единицу времени.

Q - относительная пропускная способность, то есть вероятность обслуживания поступившей заявки.

Р_отк - вероятность отказа, то есть вероятность того, что поступившая заявка не будет обслужена.

- среднее число заявок, находящихся в СМО (обслуживаемых или ожидающих в очереди).

- средняя длина очереди (то есть среднее число заявок в очереди).

- среднее время пребывания заявки в СМО (в очереди или под обслуживанием).

- среднее время пребывания заявки в очереди.

- среднее число занятых каналов.

В общем случае все эти характеристики зависят от времени, но многие СМО работают в неизменных условиях достаточно долгое время и поэтому в них устанавливается режим, близкий к стационарному. Далее не оговаривая специально, будем приводить вероятности состояний и характеристики эффективности СМО, относящиеся к предельному стационарному режиму ее работы.

СМО называется разомкнутой, если интенсивность поступающего на нее потока заявок не зависит от состояния системы. В этом случае источник заявок находится вне СМО и генерирует неограниченный поток заявок.

Для любой разомкнутой СМО справедливы формулы, связывающие ее различные характеристики эффективности:

; ; ;

; .

Эти формулы позволяют искать не все характеристики отдельно, а лишь их часть.

Марковские процессы с непрерывным временем

Пусть Х(t) - марковский процесс с непрерывным временем и дискретными состояниями S₁, S₂, ..., S_n. В дальнейшем для краткости будем его называть непрерывным марковским процессом. Обозначим , , - вероятность того, что система, находящаяся в момент времени r в состоянии S_i, окажется в момент времени t в состоянии S_j.

Марковский процесс называется однородным, если при любых i, j, r, t вероятность зависит только от длины интервала и не зависит от того, где он расположен на оси времени Ot.

В дальнейшем будем рассматривать только однородные марковские процессы и через будем обозначать вероятность того, что система за время t перейдет из состояния S_i в состояние S_j . Для непрерывного марковского процесса вероятность перехода из состояния S_i в состояние S_j при в любой момент времени равна нулю. Поэтому введем в рассмотрение по формуле

, (1)

где называется плотностью или интенсивностью вероятности перехода из состояния S_i в состояние S_j . Тогда вероятность того, что система, находящаяся в состоянии S_i , за малый промежуток времени перейдет в состояние S_j с точностью до бесконечно малых более высокого порядка равна .

Обозначим - вероятность того, что система в момент времени t находится в состоянии S_i . Эти вероятности применяются для описания случайного процесса с дискретными состояниями. Можно показать, что если число состояний марковского процесса конечно и равно n, то вероятности удовлетворяют системе дифференциальных уравнений.

(2)

Эти уравнения называются уравнениями Колмогорова. Чтобы система имела единственное решение, надо задать начальное состояние

.

В частном случае, когда состояние системы в начальный момент времени известно, например S_k, то , .

Замечание 1. Число уравнений системы (2) можно уменьшить на одно, если воспользоваться условием, что при любом t

. (3)

При составлении уравнений Колмогорова удобно пользоваться графом состояний системы, на котором состояния процесса изображены кружками, а возможные переходы из состояния в состояние обозначены стрелками с указанием соответствующей интенсивности.

0,8 0,2

0,4

0,3

Рис. 1

Пример 1. Рассмотрим граф, приведенный на рисунке 1. У системы, описываемой этим марковским процессом, три состояния , причем ; ; ; и не указываются на графе).

Потоком вероятности перехода из состояния S_i в состояние S_j называется величина . Уравнения Колмогорова удобно составлять по графу состояний, пользуясь правилом: производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятностей, идущих из других состояний в данное, минус сумма всех потоков вероятностей, идущих из данного состояния в другие. Например, для графа состояний на рис.1 получили систему уравнений

(4)

Предельный режим

Когда процесс, протекающий в системе, длится достаточно долго, возникает вопрос о значениях вероятностей при . Если существуют предельные вероятности состояний , то это означает, что с течением времени в системе устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого она переходит из одного состояния в другое, но вероятности состояний уже не меняются. В этом предельном режиме каждая предельная вероятность может быть истолкована как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии. Пусть число состояний конечно и равно n.

Чтобы найти предельные вероятности состояний, надо составить систему линейных алгебраических уравнений, которая получается из уравнений Колмогорова (2), если положить в них левые части (производные) равными нулю. Затем решают полученную систему совместно с условием:

. (5)

Если система имеет единственное решение, то предельные вероятности состояний существуют и равны соответствующим решениям системы.

Пример 2. Найти предельные вероятности состояний системы, описываемой графом, приведенным на рис.1.

Решение.

Для этой системы по графу состояний были составлены уравнения Колмогорова (4). Положим в левых частях уравнений

.

Тогда получим

Решая эту систему совместно с уравнением (5), найдем единственное решение, которое дает предельные вероятности состояний:

; ; .

Пример 3. В мастерской два мастера и одно место ожидания. Клиенты приходят через 10 минут и обслуживаются мастером 15 минут в среднем. Если место ожидания занято, клиент покидает мастерскую не обслуженным. Какую часть времени оба мастера заняты и какую свободны (потоки прихода и обслуживания клиентов считать пуассоновскими).

Решение.

Перечислим состояния системы: S₀-оба мастера свободны; S₁-один мастер занят, один свободен; S₂-оба мастера заняты, а место ожидания свободно; S₃-оба мастера и место ожидания заняты. Переход из состояния S_i в состояние S_i+1, i = 0, 1, 2 ..., происходит под действием потока прихода клиентов. Найдем его интенсивность . Так как по условию среднее время между приходами двух последовательных клиентов равно 10 минут = ч., то получим: ; то есть . Переход из состояния S₁ в состояние S₀ происходит под действием потока выполнения заявок одним мастером. Его интенсивность  находится аналогично. Так как 15 минут = ч., то . Переходы из состояния S₂ в состояние S₁ и из S₃ в S₂ происходят под действием потока, полученного объединением двух потоков выполнения заявок каждым из двух мастеров. Поэтому интенсивность его будет равна . Интенсивности переходов из состояния S_i в состояние S_i-k, S_i+k при , равны нулю, так как потоки ординарны, то есть события в потоках наступают «поодиночке». С учетом сказанного граф состояний будет иметь вид как на рисунке.

6 6 6

4 8 8

Найдем предельные вероятности состояний Р₀, Р_1, Р_2, Р_3. Для этого по графу состояний составим систему линейных уравнений Колмогорова.

Эта система имеет единственное решение:

; ;

;

Таким образом, 22,4% времени оба мастера свободны, т.к. вероятность того, что система находится в состоянии S₀ равна .

Оба мастера заняты, если система находится в состоянии S₂ или S₃ , значит вероятность этого равна .

Таким образом, 44,1% времени оба мастера заняты.