Симплексный метод

Симплексный метод является универсальным методом, которым можно решить любую задачу линейного программирования.

Идея симплекс – метода

1. Систему ограничений приводят к каноническому виду, то есть к системе m линейных уравнений с n неизвестными.

1. Находят любое ее базисное решение, по возможности наиболее простое.

2. Если первое базисное решение недопустимо, то с помощью симплекс - метода осуществляется переход к другим базисным решениям, пока не будет найдено допустимое базисное решение.

3. Если базисное решение допустимое, то проверяют его на оптимальность.

4. Если оно не оптимально, то переходят к другому допустимому базисному решению.

Симплекс - метод гарантирует на каждом шаге приближение целевой функции к оптимуму.

Таким образом, применение симплекс - метода состоит из двух этапов:

1. Нахождение допустимого базисного решения системы ограничений.

2. Нахождение оптимального решения.

Каждый этап может включать несколько шагов (итераций), соответствующих тому или иному базисному решению. Число этих шагов конечно, так как конечно число базисных решений.

Для перехода к новому базисному решению необходимо решить два вопроса:

1. Установить, какая неосновная переменная должна быть переведена в число основных.

2. Выбрать переменную, которую из основных следует перевести в неосновные на место выбывшей в основные переменные.

Ответ на первый вопрос.

Если базисное решение допустимое, а целевая функция есть функция на нахождение максимума, то берут переменную с наибольшим положительным коэффициентом и переводят ее в основные. Если целевая функция есть функция на нахождение минимума, то берут переменную с наибольшим по абсолютной величине отрицательным коэффициентом и переводят ее в основные.

Если базисное решение недопустимое, то в основные следует переводить те неосновные, которые в уравнении последней системы с отрицательным свободным членом имеют положительные коэффициенты. При этом могут представиться три случая:

1. В i-м уравнении системы уравнений нет неосновных переменных с положительными коэффициентами, то есть все коэффициенты при переменных отрицательные, как и свободный член.

В этом случае данная система ограничений - несовместна, так как она не имеет ни одного допустимого решения.

Если же нет ни одного допустимого решения системы ограничений, то нет и оптимального.

2. В i-м уравнении имеется одна переменная, коэффициент которой положителен. В этом случае в основные переводится именно эта переменная.

1. В i-м уравнении имеется несколько переменных с положительными коэффициентами. В этом случае следует определить минимальное значение для каждой из этих переменных и выбрать ту, минимальное значение которой меньше, чем у других.

Чтобы определить минимальное значение какой-либо переменной, вычисляют абсолютную величину отношения свободного члена уравнения к коэффициенту при этой переменной в этом уравнении.

Например:

Здесь для х₁- это будет: для х₂- это отношение будет равно ¥, так как при любом возрастании х₂ переменная х₃ не может стать отрицательной; для х₄- это будет для х₅- это будет (то есть если переменная отсутствует в уравнении, то для нее отношение считают равным ¥).

Таким образом, если в некоторых уравнениях знаки свободного члена и коэффициента при переменной совпадают или в каких-то уравнениях переменная, переводимая в основные, отсутствует, то отношение считают равным бесконечности, то есть ¥.

Ответ на второй вопрос.

Уравнение, из которого получено наименьшее отношение, выделяют (очерчивают рамочкой). Оно называется разрешающим.

Выделенное уравнение показывает, какая из основных переменных должна быть переведена в неосновные.

Выразив новые основные переменные через неосновные, переходят к следующему базисному решению.

Как только будет найдено допустимое базисное решение, переходят ко второму этапу симплексного метода; нахождению оптимального решения.

Правило 1. Отсутствие на каком-то шаге симплексного метода в выражении линейной формы , максимум которой ищется, неосновных переменных с положительными коэффициентами, является критерием оптимальности.

(Другими словами, если в выражении , максимум которой ищется, все переменные входят с отрицательными коэффициентами, то ее дальнейшее увеличение невозможно, то есть максимум функции достигнут).

Правило 2. Отсутствие на каком-то шаге симплексного метода в выражении линейной формы , минимум которой ищется, неосновных переменных с отрицательными коэффициентами, является критерием оптимальности. (Другими словами, если в выражении , минимум которой ищется, все переменные входят с положительными коэффициентами, то ее дальнейшее уменьшение невозможно, то есть минимум функции достигнут).

Пример 4. Для выпуска изделий двух типов А и В на заводе используется сырье 4-х видов: I; II; III; IV. Расход сырья каждого вида на изготовление единицы продукции задан таблицей. Запасы сырья составляют I вида - 19 единиц; II вида - 13 единиц; III вида - 15 единиц; IV вида - 18 единиц. Выпуск одного изделия типа А приносит 7 денежных единиц, а одного изделия типа В - 5 денежных единиц.

Виды сырья	Запасы сырья	Виды изделий
		А	В
I	19	2	3
II	13	2	1
III	15	0	3
IV	18	3	0
Доходы		7	5

Составить план производства, обеспечивающий наибольшую прибыль.

Решение.

1. Составим экономико-математическую модель ЗЛП.

   1. Пусть - количество изделий типа А;

- количество изделий типа В.

2. Система ограничений на расход сырья примет вид:

(1)

3. Целевая функция (линейная форма), максимум которой следует определить:

.

II. Приведем систему ограничений к каноническому виду, т.е. заменим неравенства равенствами, введя добавочные неотрицательные переменные х₃, х₄, х₅, х₆.

Это объемы остатков сырья каждого вида после выполнения плана по выпуску продукции. Получим систему:

или

(2)

Если составим минор из коэффициентов при х₃, х₄, х₅, х_6.

то, видим, что он не равен нулю.

Значит, переменные х₃, х₄, х₅, х₆ можно принять за основные, а переменные х₁ и х₂ - за неосновные, то есть .

Шаг 1. Основные переменные (ОП): х₃; х₄; х₅; х_6.

Неосновные переменные (НП): х₁; х₂.

Выразим основные переменные через неосновные.

(3)

Базисное решение .

Это базисное решение допустимо, так как все переменные неотрицательные. Подставим его в целевую функцию . Получим . Исходя из вида целевой функции, переведем в основные переменные х₁, так как коэффициент 7 при х₁ больше коэффициента 5 при х₂.

Система (3) накладывает ограничения на рост переменной х₁. Так как необходимо сохранять допустимость решений, т.е. все переменные должны оставаться неотрицательными, то должны выполняться следующие неравенства (при этом переменная как неосновная переменная):

откуда следует, что .

Каждое уравнение системы (3), кроме третьего, определяет оценочное отношение – границу роста переменной х₁, которая должна сохранять неотрицательность соответствующей переменной.

Еще раз констатируем, что эта граница определяется абсолютной величиной отношения свободного члена уравнения к коэффициенту при х₁, в этом уравнении, при условии, что эти числа имеют противоположные знаки.

Третье уравнение, в котором переменная х₁ отсутствует, (или входит с нулевым коэффициентом) не ограничивает рост этой переменной. В таком случае условимся обозначать границу роста переменной символом бесконечность, т.е. ¥.

Примечание.

1) Символ ¥ будем использовать и тогда, когда знаки свободного члена и коэффициента при переменной в уравнении одинаковые, т.к. и в этом случае нет ограничений на рост переменной.

2) Если в уравнении свободный член отсутствует, точнее сказать, равен нулю, тогда а) если коэффициент при переменной отрицательный, то оценочное отношение – граница роста переменной – принимается равной нулю; б) если коэффициент при переменной положительный, то оценочное отношение – граница роста переменной – принимается равной ¥.

В нашей задаче наибольшее возможное значение для переменной х₁ определяется как

.

Так как меньшее значение x₁ получено из последнего уравнения (его обведём рамочкой), то оно показывает, что переменную x₆ следует перевести в неосновные переменные.

Вывод: Перевести x_{1 -} в ОП; x₆ - в НП.

Выразим x₁ из последнего уравнения

Шаг 2. ОП: x₁; x₃; x₄; x₅;

НП: x₂; x₆

Выразим ОП через НП.

или

(4)

Базисное решение (6; 0; 7; 1; 15; 0) - допустимое решение.

Подставим его в целевую функцию.

Получим

.

Так как коэффициент при x₂ в выражении для целевой функции больше нуля, то возможно дальнейшее увеличение значения целевой функции за счёт переменной х₂. Поэтому переведём в основные переменные х₂. Чтобы выяснить, какую переменную из основных перевести в неосновные, определим:

Значение 1 получено из третьего уравнения системы (4).

Обведём рамочкой уравнение 3 системы (4) и переведем в НП переменную х₄.

Вывод: перевести х₂ - в ОП; х₄ - в НП.

Выразим х₂ из 3-его уравнения:

.

Шаг 3. ОП: x₁; x₂; x₃; x₅;

НП: x₄; x₆

Выразим ОП через НП.

или

(5)

Базисное решение (6; 1; 4; 0; 12; 0) - допустимое.

Подставим его в целевую функцию.

Получим:

.

Итак, .

Увеличение значения целевой функции возможно за счёт переменной х₆, так как она входит в с положительным коэффициентом. Следовательно, переменную х₆ переведём в ОП. Чтобы выяснить, какую переменную следует перевести в НП, определим

.

Значение 3 получено из третьего уравнения для х₃ системы (5).

Уравнение 3 системы (5) обведем рамочкой.

Вывод: Перевести х₆ - в ОП;

х₃ - в НП.

Выразим х₆ из 3-его уравнения системы (5). Получим:

.

Шаг 4. ОП: x₁; x₂; x₅; x₆;

НП: x₃; x₄

Выразим ОП через НП.

. (6)

Базисное решение (5; 3; 0; 0; 6; 3) - допустимое.

Подставим его в целевую функцию.

Получим выражение для целевой функции:

;

.

Так как коэффициенты при переменных x₃ и x₄ отрицательные, то дальнейшее увеличение целевой функции не возможно. Значит, достигнуто оптимальное значение функции : при оптимальном базисном решении (5; 3; 0; 0; 6; 3).

Ответ. Для получения наибольшей прибыли, равной 50 денежным единицам, из данных видов сырья завод должен изготовить 5 единиц изделий типа А, 3 единицы изделий типа В. При этом сырьё I и II видов используется полностью, а 6 единиц сырья вида III и 3 единицы сырья вида IV останутся неизрасходованными.

Пример 5. Задача о смесях (задача о диете).

При откорме животных каждое животное ежедневно должно получать не менее 6 единиц вещества К, 8 единиц вещества Z, 12 единиц вещества М. (Вещества К, Z, M могут в частности означать жиры, белки, углеводы). Для откорма животных можно закупить 3 вида кормов (например, картофель, жмых, комбикорм). Содержание единиц питательных веществ в 1 ед. каждого вида корма и стоимость 1 ед. каждого вида корма приведены в таблице.

Вид корма	Вещества			Стоимость ед. корма
	K	Z	M
I	2	1	3	2
II	1	2	4	3
III	3	1,5	2	2,5
Кол-во веществ	6	8	12

Составить дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества веществ при минимальных денежных затратах. (Другими словами, требуется обеспечить наиболее дешёвый рацион откорма).

Решение.

I. Составим экономико-математическую модель задачи.

1. Пусть х₁ - количество единиц I вида корма,

х₂ - количество единиц II вида корма,

х₃ - количество единиц III вида корма.

2. Требуется определить минимум линейной формы :

при следующих ограничениях:

(1)

II. Вычислим оптимум функции симплексным методом

1. Введём добавочные неотрицательные переменные х₄, х₅, х₆ и приведём систему неравенств (1) к системе уравнений (к каноническому виду) (2):

или

(2)

2. Проще всего получить базисное решение системы (2), если за основные переменные взять добавочные переменные х₄, х₅, х₆ (минор из коэффициентов при х₄, х₅, х₆ отличен от 0).

Шаг 1. Основные переменные (ОП) - х₄; х₅; х₆.

Неосновные переменные (НП) - х₁; х₂; х₃.

Выразим ОП через НП. Получим систему уравнений (3).

(3)

Базисное решение (0; 0; 0; -6; -8; -12) - недопустимое, так как х₄, х₅ и х₆ - отрицательные. Чтобы определить, какую неосновную переменную перевести в основные, определим:

;

;

.

Выводы:

1) В основные переменные следует перевести х₃ из 1-го уравнения системы (3) (у х₃ наименьшее значение и оно получено из 1-го уравнения).

2) В неосновные переменные следует перевести х₄.

Итак,

Шаг 2. ОП х₃; х₅; х₆.

НП х₁; х₂; х₄.

Выразим ОП через НП. Получим систему уравнений (4).

(4)

Базисное решение (0; 0; 2; 0; -5; -8) - недопустимое.

В основные переменные могут быть переведены или х₂, или х₄. Для однозначного ответа определим

.

Выводы:

1) В основные переменные следует перевести х₂ из 3-го уравнения системы (4). Его можно обвести рамочкой.

2) В неосновные переменные следует перевести х₆.

Итак,

Шаг 3. ОП х₂; х₃; х₅.

НП х₁; х₄; х₆.

Выразим ОП через НП. Получим систему уравнений (5).

(5)

Базисное решение (0; ) - недопустимое.

Так как ; , то из последнего уравнения системы (5) следует, что в ОП нужно перевести х₆, а в НП - х₅.

Выводы: .

Шаг 4. ОП х₂; х₃; х₆.

НП х₁; х₄; х₅.

Выразим ОП через НП. Получим систему уравнений (6).

(6)

Базисное решение - допустимое решение.

Выразим целевую функцию через полученное допустимое решение, т.е. выразим

(7)

через неосновные переменные, подставив в (7) соответствующие выражения для х₂ и х₃ из системы уравнений (6):

Так как все коэффициенты при переменных х₁, х₄, х₅ - положительные, то дальнейшее уменьшение целевой функции невозможно. Значит, полученное допустимое базисное решение является и оптимальным.

Критерий оптимальности минимума целевой функции достигнут:

(денежных единиц).

Итак, чтобы обеспечить наиболее дешёвый рацион питания, нужно в основном покупать самый дорогой корм II вида; корма III вида нужно закупать почти в 4 раза меньше, а корм I вида, хотя и самый дешевый, но не выгодный.

При этом оптимальном решении будут обеспечены нормы веществ K, Z, M. К тому же вещества М на ед. окажется больше нормы.