8. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

В схеме Бернулли (см. предыдущий пункт) распределение вероятностей - биномиальное. При большом количестве проводимых испытаний биномиальное распределение приближается к нормальному с параметрами a = np, σ = √(npq). На этом факте и основано применение приближённых формул Лапласа. Условия применения формул - схема Бернулли (проводимые испытания независимы, вероятность наступления события в каждом испытании постоянна). Тогда вероятность того, что при n испытаниях интересующее нас событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближённо равна

Чем больше n, тем ближе значение вероятности к точному. Значения функции можно вычислить с помощью инженерного калькулятора. Если есть под рукой таблица значений функции плотности стандартного нормального распределения 1/√2π·e^(-x2/2), то сначала вычисляем величину x = (k-np)/√npq, а потом смотрим нужное значение. Можно также воспользоваться функцией Excel =НОРМРАСП(k;np; √npq;0)

Пример 8.1

Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

Решение Здесь имеется схема Бернулли. Так как количество испытаний велико, вместо формулы Бернулли воспользуемся приближённой формулой Лапласа. k = 75; np = 0,8·100 = 80; √npq = √0,8·100·0,2 = √16 = 4 НОРМРАСП(75; 80; 4; 0) = 0,0457 Свернуть

Если же при прежних условиях требуется найти вероятность того, что событие наступит не менее k₁ и не более k₂раз, то используется интегральная формула Лапласа.

- функция Лапласа. Значения функции Лапласа можно взять из таблицы. Можно также воспользоваться программой Excel. Функция =НОРМСТРАСП() позволяет вычислить интегральную функцию нормального распеделения F(X). Взаимосвязь между интегральной функцией и функцией Лапласа: Ф(X) = F(X) - 0,5. Поэтому для вычисления функции Лапласа в ячейку забиваем формулу =НОРМСТРАСП(число) - 0,5 Функция Лапласа нечетная, т.е. Ф(-X) = -Ф(X). Это к сведению для тех, кто будет пользоваться таблицей значений функции Лапласа (там, как правило, отсутствуют отрицательные значения аргумента).

Пример 8.2

Найти вероятность того, что число выпадений на игральной кости числа 4 при 1000 бросаниях будет заключено между числами 161 и 171.

Решение Игральная кость (кубик) имеет шесть граней, на каждой из которых имеется определённое количество очков (от 1 до 6). При каждом отдельном бросании вероятность выпадения четырёх очков постоянна и равна 1/6. Проводимые испытания независимы. Следовательно, в задаче имеется схема Бернулли. Но формула Бернулли в данном случае даёт громоздкие вычисления, т.к. количество испытаний очень большое. При больших n биномиальное распределение приближается к нормальному, поэтому вероятность можно вычислить приближённо, используя интегральную формулу Лапласа:

Свернуть

9. Приближённая формула Пуассона

Если при наличии схемы Бернулли число испытаний n велико, а вероятность наступления события p мала, то вместо формулы Бернулли используют формулу Пуассона:

Здесь вы можете найти таблицу распределения Пуассона. В Excel значения можно вычислить по формуле =ПУАССОН(k;λ;0)

Пример 9.1

Вероятность выпуска бракованного сверла (повышенной хрупкости) равна 0,02. Свёрла укладывают в коробки по 100 штук. Определить вероятность того, что число бракованных свёрл коробке не превосходит трёх.

Решение Так же, как и в предыдущей задаче, здесь имеется схема Бернулли. n = 100, p = 0,02; q = 0,98. Вероятность наступления события мала, количество производимых испытаний велико (np < 9). Используем приближённую формулу Пуассона.

Свернуть