3.4. Основні теореми і формули

Як правило, для визначення ймовірностей подій застосовуються не тільки безпосередні прямі методи, а і непрямі, що дозволяють за відомими ймовірностями одних подій визначати ймовірності інших подій, які з ними пов’язані. Уся теорія ймовірностей, в основному, і є системою таких непрямих методів, застосування яких дозволяє звести необхідний експеримент до мінімуму.

Сумою двох подій і називають подію , що складається в появі хоча б однієї з подій і (чи , чи , чи і ).

Теореми додавання ймовірностей

а) Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій

.

б) Ймовірність суми двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи

.

Зауваження. Варто мати на увазі, що коли події утворюють суму, то вони поєднуються союзом “чи” і навпаки.

в) Якщо події утворюють повну групу, то сума їх ймовірностей дорівнює одиниці

.

г) Принцип доцільності застосування протилежних подій: якщо протилежна подія розпадається на менше число варіантів, ніж пряма подія, то має сенс при обчисленні ймовірності перейти до протилежної події

.

Д) Виходячи з того, що сума подій полягає в появі хоча б одного з подій – складових, має сенс користатися іншою формулою:

де – ймовірність непояви , тобто ,

– ймовірність непояви , тобто ,

– ймовірність непояви , тобто ,

– ймовірність непояви , тобто .

Теореми множення ймовірностей

Дві події називають незалежними, якщо ймовірність одного з них не залежить від того, відбулася чи ні інша подія.

У протилежному випадку події називаються залежними.

Ймовірність події , знайдена за умови, що подія уже відбулася, називається умовною ймовірністю події за умови виконання : Умова незалежності подій і : .

Добутком двох подій і називають подію , що складається в одночасній появі подій і .

а) Ймовірність добутку незалежних подій дорівнює добутку їх ймовірностей

б) Ймовірність добутку залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої

Зауваження. Якщо події утворюють добуток, то вони поєднуються союзом “і” і навпаки.

Формула повної ймовірності

За допомогою теореми додавання і множення ймовірностей отримують формулу повної ймовірності і формули Бейєса.

Ймовірність події , яка може наступити лише за умови появи однієї з гіпотез , що утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з гіпотез на відповідну умовну ймовірність події

.

Формула Бейєса

Якщо подія уже відбулася, то переоцінити ймовірність кожної гіпотези можна за формулою Бейєса.

Припустимо, що несумісні гіпотези складають повну групу подій. Ймовірності цих гіпотез до випробуванні відомі і дорівнюють . Проведено випробування, в результаті якого з’явилася подія . Ймовірність гіпотези за умовою з’явлення події визначається формулою

, ,

де – повна ймовірність події .

Приклад 6.

Ймовірність улучення в мішень для першого стрільця дорівнює 0,9, для другого – 0,8. Обидва стрільця виконали по одному пострілу. Визначити ймовірність того, що мішень улучена.

Розв’язання.

Подія – улучення першого стрільця, подія – улучення другого стрільця.

, .

Подія – промах першого стрільця, подія – промах другого стрільця.

, .

Подія – мішень уражена, тобто хоча б один стрілець улучив у мішень.

Подія – обидва стрільця промахнулися.

.

Улучення або промахи стрільців незалежні один від одного.

Приклад 7.

В одній урні 2 білих, 4 синіх і 3 чорних кулі, в другій відповідно 3, 2 і 5 куль. Виймають по одній кулі з кожної урни. Визначити ймовірність того, що вони різнокольорові.

Розв’язання.

В урнах містяться кулі трьох кольорів. Варіанти різних по кольору куль можуть бути такими:

1 урна	б	б	с	с	ч	ч
2 урна	с	ч	б	ч	б	с

Ймовірність кожного з варіантів визначається за теоремою множення ймовірностей незалежних подій, а загальна ймовірність – їх підсумовуванням.

.

Приклад 8.

Ймовірність одного улучення в ціль при одному залпі з двох гармат дорівнює 0,44. Знайти ймовірність поразки цілі при одному пострілі першої гармати, якщо відомо, що для другої гармати ця ймовірність дорівнює 0,6.

Розв’язання.

Позначимо ймовірності улучення 1-ї і 2-ї гармати через і , тоді ймовірності протилежних подій будуть і , а ймовірність тільки одного улучення виразиться співвідношенням:

; ,

, ,

Приклад 9.

На склад надходять праски з двох заводів, перший з яких поставляє 70%, другий – 30% усієї кількості прасок. Відомо, що перший завод випускає 90% продукції, здатної прослужити гарантійний термін, а другий – 95%. Яка ймовірність, що навмання узята праска прослужить гарантійний термін?

Розв’язання. .

Подія – праска прослужить гарантійний термін.

1. Визначення гіпотез:

гіпотеза – праска виготовлена першим заводом,

гіпотеза – праска виготовлена другим заводом.

Гіпотези несумісні і утворюють повну групу.

2. Визначення ймовірностей гіпотез до проведення випробування:

; . .

3. Визначення умовних ймовірностей

; .

4. Визначення повної ймовірності

Приклад 10.

Є 10 урн. У 3-х з них – по 4 білих, 6 чорних куль, у 5-ти – по 7 білих, 3 чорних куль, у 2-х – по 2 білих, 8 чорних куль. Навмання взята куля виявилася білою. Яка ймовірність того, що вона взята з 3-ї групи урн?

Розв’язання. .

В цій задачі потрібно використати формулу Бейєса, тому що результат відомий (куля виявилася білою).

Подія – куля виявилася білою.

1. Гіпотеза – куля взята з першої групи урн.

Гіпотеза – куля взята з другої групи урн.

Гіпотеза – куля взята з третьої групи урн.

Гіпотези несумісні і утворюють повну групу.

2. ; ; ; .

3. ; ; .

4. .

5. .