5.4. Конкретні закони розподілу
Кожен закон розподілу визначається густиною ймовірності, інтегральною функцією, числовими характеристиками та ймовірністю потрапляння на інтервал.
Біноміальний закон – це розподіл ймовірностей, які визначаються за формулою Бернуллі. Він розрахований на дискретні величини і визначається наступними характеристиками
,
,
.
Закон Пуассона – це розподіл ймовірностей, які визначаються за формулою Пуассона. Він характеризує дискретні величини і визначається такими величинами:
,
,
,
,
,
.
У цьому законі є характерна
особливість:
і
співпадають.
Закон рівномірного
розподілу ймовірностей
– це такий закон розподілу неперервної
випадкової величини, усі значення якої
лежать на відрізку
і мають постійну густину ймовірності
на цьому відрізку.
,
,
.
.
Нормальний розподіл – це розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини, що описується диференціальною функцією
,
,
.
Інтегральна функція нормального розподілу:
.
,
де
– функція Лапласа (інтеграл ймовірностей).
Нормальною кривою називають графік густини нормального розподілу. Ймовірність заданого відхилення нормально розподіленої випадкової величини від її математичного сподівання:
.
Правило “трьох сигм”: |
Практично достовірною є подія, яка складається в тому, що абсолютна величина відхилення нормально розподіленої випадкової величини від її математичного сподівання не перевершує потроєного середнього квадратичного відхилення
|
.Показниковий (експоненціальний) розподіл описується диференціальною функцією
.
,
,
.
.
Особливість цього закону: співпадають і .
Приклад 16. |
У цеху 4 мотори. Для кожного
мотора ймовірність того, що він
включений у даний момент, дорівнює
0,6. Скласти ряд розподілу числа моторів,
включених у даний момент. Знайти
|
Розв’язання.
Випадкова величина – число включених моторів – може приймати значення 0, 1, 2, 3, 4. Для кожного можливого значення випадкової величини знайдемо ймовірність за формулою Бернуллі:
Складемо ряд розподілу:
-
0
1
2
3
4
0,0256
0,1536
0,3456
0,3456
0,1296
Перевірка: 0,0256 + 0,1536 + 0,3456 + 0,3456 + 0,1296 = 1.
=
.
;
.
Приклад 17. |
Дано інтегральну функцію:
Знайти: а) диференціальну функцію; б) ймовірність потрапляння випадкової величини в інтервал (1/4; 2/3); в)
г)
побудувати графік
|
і
.Рішення.
а) Знайдемо диференціальну функцію:
б)
.
в)
,
,
.
.
г) графіки функцій
і
мають вигляд (рис. 1, 2):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
Рис. 1 Рис. 2