Іi. Розв’язати задачі

1. Ймовірність улучення стрілка в мішень при першому пострілі – 0,8, при другому – 0,6, при третьому – 0,7. Зроблено три постріли. Яка ймовірність того, що: а) у мішені буде рівно одна пробоїна? б) у мішені буде хоча б одна пробоїна?

2. В урні 25 білих і 10 чорних куль. Навмання беруть одну кулю, а потім беруть ще одну, яка виявляється білою. Яка ймовірність того, що першою взяли білу кулю?

3. У першій урні 25 білих і 15 чорних куль, у другій урні 14 білих і 11 чорних кулі. З першої урни беруть навмання кулю і перекладають у другу урну. Потім із другої урни навмання беруть кулю. Яка ймовірність того, що вона біла?

4. На склад надходить продукція з трьох фабрик, причому продукція фабрики №1 складає 25%, фабрики №2 – 40%, фабрики №3 – інша продукція. Відомо, що середній відсоток браку для фабрики №1 дорівнює 3%, для фабрики №2 – 2%, для фабрики №3 – 5%. Знайти ймовірність того, що навмання взятий виріб виявиться бракованим.

5. У першій урні 15 білих і 20 чорних куль, у другій урні 14 білих і 16 чорних куль, у третій урні 6 білих і 4 чорних кулі. З навмання взятої урни навмання беруть кулю. Яка ймовірність того, що вона біла?

6. Ймовірність улучення стрільця в мішень при першому пострілі – 0,9, при другому – 0,85, при третьому – 0,7. Знайти ймовірність: а) рівно одного улучення; б) хоча б одного улучення.

7. В урні 26 білих і 8 чорних куль. Навмання беруть одну за одною 2 кулі (з поверненням). Яка ймовірність того, що вони різного кольору?

8. 90% деталей, які виготовлені заводом №1, відповідають стандарту. Для заводів №2 і №3 цей показник відповідно дорівнює – 86% і 99%. На склад надійшло 150 деталей заводу №1, 160 деталей заводу №2, і 40 деталей заводу №3. Навмання беруть деталь. Знайти ймовірність того, що вона стандартна.

9. У першій урні 20 куль, з яких 6 білих; у другій урні 8 куль, з них 7 білих. З кожної урни беруть навмання одну кулю, а потім з цих двох куль навмання беруть кулю. Яка ймовірність того, що вона біла?

10. Два стрільці по черзі стріляють в одну мішень. Ймовірність улучення при кожному пострілі дорівнює 0,7. У стрільців по два патрони. Стрільба припиняється, коли хтось з них улучить у мішень. Знайти ймовірність поразки цілі першим стрільцем.

11. В одному ящику міститься 20 стандартних і 6 нестандартних деталей, у другому – 8 стандартних і 4 нестандартні деталі. З першого ящику в другий навмання переклали одну деталь, потім із другого вийняли одну деталь. Яка ймовірність того, що вона стандартна?

12. На склад надійшли однакові холодильники, що зроблені двома заводами. Перший завод поставляє 60%, другий – 40% усієї кількості. Перший завод випускає 92% продукції, здатної прослужити гарантійний термін, другий – 95%. Визначити ймовірність того, що навмання взятий холодильник здатен прослужити гарантійний термін?

13. На базу надійшли швейні вироби, з яких 30% виготовлені фабрикою №1, 20% виготовлені фабрикою №2 і 50% виготовлені фабрикою №3. Фабрика №1 випускає 90% виробів вищого сорту, №2 – 95%, №3 – 97%. Яка ймовірність того, що взятий навмання виріб виявиться не вищого сорту?

14. Є три урни, в яких по 10 білих і 6 чорних куль і дві урни, в яких по 18 білих і 6 чорних куль. З навмання обраної урни випадково виймають кулю. Яка ймовірність, що вона біла?

15. В обчислювальній лабораторії є 16 клавішних автоматів і 4 напівавтомати. Ймовірність того, що за час виконання розрахунку автомат не відмовить, дорівнює 0,95, для напівавтомата ця ймовірність дорівнює 0,85. При виконанні деякого розрахунку машина не відмовила. Яка ймовірність, що обчислення здійснювалися на автоматі?

16. Ймовірність того, що під час роботи ЕОМ виник збій в арифметичному пристрої (АП), в оперативній пам’яті (ОП), в інших пристроях відносяться як 2:3:5. Ймовірність виявлення збою в АУ, ОП та інших пристроях відповідно дорівнюють 0,8; 0,9; 0,7. Знайти ймовірність того, що виниклий збій буде виявлений.

17. З першого верстата на зборку надходить 50%, із другого – 30%, із третього – 20% усіх деталей. Ймовірності виготовлення бракованої деталі для кожного верстата відповідно дорівнюють 0,02; 0,01 і 0,05. Деталь, що надійшла на зборку, виявилася бракованою. Яка ймовірність того, що вона виготовлена на другому верстаті?

18. У першому ящику 15 ламп, серед них 3 нестандартних, у другому 10 ламп, з них одна нестандартна. З першого ящика навмання взята лампа і перекладена в другий. Знайти ймовірність того, що навмання витягнута з другого ящика лампа буде нестандартною.

19. Два автомати виготовляють деталі, що надходять на один конвеєр. Ймовірність одержання несправної деталі на першому автоматі 0,08, на другому – 0,05. Продуктивність другого автомата вище вдвічі, ніж першого. Знайти ймовірність того, що навмання взята з конвеєра деталь буде нестандартною.

20. В піраміді встановлені 16 гвинтівок, 7 з них – з оптичним прицілом. Ймовірність того, що стрілець улучить мішень із гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95, для гвинтівки без прицілу ця ймовірність дорівнює 0,7. Стрілець улучив у мішень з навмання взятої гвинтівки. Що ймовірніше: стрілець стріляв із гвинтівки з прицілом або без нього?

21. У магазин надійшли деталі двох заводів, причому з першого надходить деталей в 3 рази більше, ніж із другого. Перший завод випускає в середньому 0,5% браку, другий – 0,1%. Куплена в магазині деталь виявилася бракованою. Яка ймовірність того, що вона виготовлена першим заводом?

22. В одній урні 4 білих і 6 чорних куль, у другий – 6 білих і 2 чорних. З першої урни навмання переклали 2 кулі в другу, після чого з другої урни навмання дістали одну кулю. Вона виявилась білою. Яка ймовірність того, що з першої урни в другу були перекладені 2 білі кулі?

23. На конвеєр надходять деталі з трьох цехів. Перший цех дає в середньому 0,3% браку, другий – 0,5%, третій – 0,4%. Знайти ймовірність надходження на конвеєр бракованої деталі, якщо з першого цеху надійшло 13000, із другого – 6000, із третього – 1000 деталей.

24. У ящику міститься 15 деталей заводу №1, 20 деталей заводу №2, 25 деталей заводу №3. Ймовірність того, що деталь заводу №1 вищої якості, дорівнює 0,9; для деталей заводу №2 і №3 ці ймовірності дорівнюють відповідно 0,7 і 0,8. Знайти ймовірність того, що витягнута навмання деталь виявиться вищої якості.

25. З урни, що містить 6 білих і 4 чорних кулі, вийняті навмання 2 кулі і перекладені в урну, що містить 4 білих і 4 чорних кулі, після чого з другої урни вибирають кулю. Чому дорівнює ймовірність того, що куля біла?

26. В піраміді встановлені 15 гвинтівок, 10 з них мають оптичний приціл. Ймовірність того, що стрілець улучить у мішень із гвинтівки з оптичним прицілом дорівнює 0,95, для гвинтівки без прицілу ця ймовірність дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що в мішень буде улучено, якщо стрілець зробить постріл з навмання взятої гвинтівки.

27. З першого верстата на зборку надходить 40%, із другого – 25%, із третього – 35% усіх деталей. Ймовірність виготовлення бракованої деталі для кожного верстата дорівнює відповідно 0,02; 0,05; 0,04. Знайти ймовірність того, що деталь, яка надійшла на зборку, бракована.

28. Число вантажних автомашин, що проїжджають по шосе, на якому розташована бензоколонка, відноситься, до числа легкових машин як 5:3. Ймовірність того, що буде заправлена вантажна машина дорівнює 0,2; для легкових машин ця ймовірність дорівнює 0,4. До бензоколонки під’їхала машина. Знайти ймовірність того, що це вантажна машина.

29. Слюсар одержав 4 коробки деталей, виготовлених заводом № 1 і 6 коробок, виготовлених заводом №2. Ймовірність того, що деталь заводу №1 стандартна, дорівнює 0,8, а заводу №2 – 0,9. Слюсар навмання взяв деталь з навмання вибраного ящика. Знайти ймовірність того, що вилучено стандартну деталь.

30. Дві робітниці на різних перфораторах набили по однаковому комплекту карт. Ймовірність того, що перша робітниця зробить помилку дорівнює 0,08, друга – 0,2. При звіренні перфокарт виявлена помилка. Знайти ймовірність того, що помилилася друга робітниця.

ІІI. Розв’язати задачі

1. У цеху 8 моторів. Для кожного мотора ймовірність того, що він у даний момент включений, дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що в даний момент: а) включені 5 моторів; б) включені всі мотори.

2. Знайти ймовірність того, що подія А з’явиться в 4 незалежних випробуваннях не менш 2 разів, якщо в кожному випробуванні ймовірність появи події А дорівнює 0,5.

3. На склад магазина надійшли вироби, з яких 70% першого сорту. Знайти ймовірність того, що серед 200 узятих навмання виробів 160 виявляться першого сорту.

4. Порцеляновий завод відправив на базу 10000 доброякісних виробів. Ймовірність того, що в дорозі виріб ушкодиться, дорівнює 0,0002. Знайти ймовірність того, що на базу прийдуть рівно 2 пошкоджених вироби.

5. Скільки виробів першого сорту з ймовірністю 0,0324 можна чекати в партії з 1000 навмання взятих виробів, якщо ймовірність того, що виріб буде першосортним, дорівнює 0,8?

6. При кожному пострілі з гвинтівки ймовірність улучення в ціль дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що при 4 пострілах буде 3 промахи.

7. Ймовірність виявитися бракованою для лампочки дорівнює 0,03. Для контролю відібрано навмання 1000 лампочок. Знайти ймовірність того, що частість бракованих лампочок у вибірці відрізняється від ймовірності 0,03 менш, ніж на 0,01.

8. Ймовірність того, що виріб при транспортуванні ушкодиться, дорівнює 0,003. Знайти ймовірність того, що при транспортуванні 10000 виробів буде ушкоджено 2 вироби.

9. У партії 1000 виробів, серед яких 10 дефектних. При приймальному контролі вибирають 100 виробів. Яка ймовірність того, що у вибірці не виявиться дефектних виробів?

10. Ймовірність хоча б одного улучення при двох пострілах дорівнює 0,96. Знайти ймовірність 3 улучень при 5 пострілах.

11. Знайти ймовірність того, що число хлопчиків серед 1000 немовлят більш 500, але менше 540.

12. Здійснюються незалежні випробування, у кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що в 100 випробуваннях подія А з’явиться більш 80 разів.

13. Ймовірність хоча б одного улучення при двох пострілах дорівнює 0,99. Знайти ймовірність 3 улучень при п’ятьох пострілах.

14. Комутатор установи обслуговує 100 абонентів. Ймовірність того, що впродовж 1 хвилини абонент подзвонить на комутатор, дорівнює 0,03. Яке з подій ймовірніша: впродовж 1 хвилини подзвонять 3 абоненти або подзвонять 4 абоненти?

15. Відомо, що 1/6 частина продукції, що поставляється заводом, є продукцією другого сорту, а інша – першого. Завезено партію з 300 виробів. Знайти найімовірніше число виробів першого сорту і його ймовірність.

16. Ймовірність того, що покупцю потрібно взуття 41-го розміру, дорівнює 0,3. Знайти ймовірність того, що серед 100 покупців взуття 41-го розміру знадобиться: а) 20 покупцям; б) не більш 30 покупцям.

17. Визначити ймовірність того, що в сім’ї, в якій 5 дітей, не більше 2 дівчат.

18. Ймовірність улучення в мішень дорівнює 0,8. Зроблено 100 пострілів. Знайти ймовірність того, що число улучень у мішень буде не менше 70.

19. Знайти ймовірність того, що подія А з’явиться не менш 3 разів у 6 незалежних випробуваннях, якщо ймовірність появи події А в одному випробуванні дорівнює 0,4.

20. Ймовірність улучення в мішень стрільцем при одному пострілі дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що при 100 пострілах мішень буде улучена не менш 70 і не більш 80 разів.

21. Підручник виданий тиражем 100000 екземплярів. Ймовірність того, що підручник зброшурований неправильно, дорівнює 0,0008. Знайти ймовірність того, що тираж містить рівно 3 браковані книги.

22. Подія В з’явиться у випадку, якщо подія А наступить не менш 3 разів. Знайти ймовірність появи події В, якщо буде зроблено 5 незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює 0,7.

23. Зроблено 10 незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що подія А з’явиться хоча б 1 раз.

24. Ймовірність улучення в мішень стрільцем при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що при 100 пострілах мішень буде улучена рівно 75 разів.

25. У середньому на кожну 1000 виробів цех випускає 250 виробів відмінної якості. Знайти ймовірність того, що зі взятих навмання 100 виробів число виробів відмінної якості буде не менш 40.

26. Прядильниця обслуговує 1000 веретен. Ймовірність обриву нитки на одному веретені впродовж 1 хвилини дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що протягом 1 хвилини обрив відбудеться на 7 веретенах.

27. Подія В з’явиться у випадку, якщо подія А наступить не менш 2 разів. Знайти ймовірність настання події В, якщо буде зроблено 5 незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює 0,3.

28. Ймовірність народження хлопчика 0,51. Знайти ймовірність того, що серед 100 немовлят виявиться 70 хлопчиків.

29. Ймовірність появи події в кожному з 2100 незалежних випробувань дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться не менш 1400 і не більш 1500 разів.

30. Ймовірність появи події в кожному з 21 незалежних випробувань дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться в більшості випадків.