Переход от одного плана перевозок к другому

Клетки с базисными переменными будут базисными или занятыми, остальные – небазисными или свободными. Для перехода к новому плану используется замкнутая цепь, которая строится в матрице перевозок по следующим правилам.

П остроение начинается со свободной клетки, которую соединяют с базисной в строке (столбце). Последнюю соединяют с базисной в столбце (строке). Далее, чередуя движение по строкам и столбцам, продолжаем соединение занятых клеток так, чтобы вернуться в начальную. При этом не требуется, чтобы цепь включала все базисные клетки. Угловые клетки цепи - вершины цепи. Правило построения замкнутой цепи можно сформулировать проще: начальная вершина должна быть в свободной клетке, остальные – в занятых. Такая цепь называется циклом пересчета. Он является геометрическим представлением разложения небазисного вектора условий при переменной в свободной клетке по векторам текущего базиса. Если базисная клетка не попала в цикл пересчета, то соответствующий базисный вектор имеет в этом разложении нулевой коэффициент. Так как любой небазисный вектор выражается через базис единственным образом, то для любой небазисной (свободной) клетки можно построить один и только один цикл пересчета. Кружком выделена начальная (небазисная) клетка цикла. Нумеровать вершины можно в любом направлении. И начинать можно с любой вершины. На рисунке нумерация проведена с клетки, смежной начальной. В этом случае начальная клетка всегда будет четной.

В результате цикл пересчета, построенный в допустимой матрице перевозок, обладает замечательным свойством: если перемещать по нему некоторое количество груза  >0, прибавляя его к X_ij в четных вершинах и вычитая из X_ij в нечетных, то условия задачи и не нарушатся. Чтобы новое решение было допустимым, то есть выполнялось и условие неотрицательности переменных, необходимо ограничить значение :  ₀=min X_ij, ij нечет. (14) Здесь нечет – множество индексов переменных в нечетных вершинах цикла.

Для получения базисного решения (нового опорного плана) достаточно взять  = ₀. При этом переменная свободной клетки, на которой строился цикл, становится базисной со значением ₀, а переменная, доставляющая минимум в (14), обнуляется и переходит в небазисные. Переход от одного плана к другому в методе потенциалов заключается в построении цикла пересчета, определении ₀ с последующим прибавлением к значениям переменных в четных вершинах и вычитанием в нечетных.

Признак оптимальности

При перемещении  по циклу пересчета увеличиваются на эту величину значения переменных X_ij в четных вершинах, а следовательно, увеличиваются и затраты на перевозку на  C_ij. Одновременно уменьшаются на  переменные в нечетных вершинах и на  C_ij соответствующие им затраты. Отсюда следует, что значение критерия в новом, (k+1)-м решении можно определить по критерию в исходном решении и изменениям в клетках цикла:

или ,(15)

где (16) Δ_ij – относительная оценка переменной X_ij, на которой построен цикл. Для базисных переменных оценка всегда равна нулю. Δ_ij показывает, как изменится критерий (в какую сторону и насколько) при перемещении по циклу единицы груза ( =1). Если Δ_ij>0, то введение X_ij в число базисных приведет к уменьшению суммарных затрат. Если же Δ_ij<0, критерий возрастет, что противоречит цели. Решение нельзя улучшить, когда среди оценок нет положительных, и поэтому признак оптимальности имеет вид Δ_ij0.(17) Если признак не выполняется, то новое решение целесообразно строить на основе клетки с максимальной оценкой.

Поставим в соответствие каждому пункту отправления сбалансированной задачи некоторую величину U_i, i=1, 2,…, m, а каждому пункту назначения – V_j, j=1, 2,…, n так, чтобы для базисных клеток выполнялись равенства V_j - U_i=C_ij, i jбаз.(18)

Система (18) содержит m+ n-1 уравнений с m+ n неизвестными.

Зная U_i и V_j, можно вычислить относительную оценку для любого цикла в текущем плане перевозок. Для любой свободной клетки ij относительная оценка может быть вычислена без построения цикла пересчета по формуле Δ_ij=V_j-U_i-C_ij. (19)

Для базисных клеток Δ_ij=0.

U_i и V_j - потенциалы пунктов отправления и назначения соответственно.

Потенциалы можно интерпретировать как локальные цены. Если цена в пункте отправления i равна U_i и груз из него доставляется в пункт назначения j по коммуникации ij, то локальная цена в ПН возрастет по отношению к ПО на величину транспортных затрат: V_j=U_i+ C_ij. (20)

Рассмотрим конкретно преобразование матрицы ^(k) в матрицу ^(k+1) на основе нового решения X^(k+1). Новое решение получено вводом небазисной переменной с максимальной оценкой в ^(k). Пусть max _ij=_kr. В матрице ^(k) отмечаем элементы, соответствующие базисным в новом решении X^(k+1) (символом *), максимальную оценку отмечаем особо. Далее строим цепочку выделения. Она строится с особо отмеченного элемента, который соединяют с отмеченными в этой строке. Затем отмеченные элементы, попавшие в цепочку, соединяют с отмеченными в их столбцах. Далее снова проводим соединение по строкам, и так до тех пор, пока не оборвутся все ветви.

Переменной X_kr будет соответствовать нулевая оценка, как и тем переменным из решения X^(k), которые сохранили статус базисных. Таким образом, преобразованная матрица соответствует новому опорному плану. Провести выделение можно и иначе: сначала вычеркивать строку с максимальным элементом, затем вычеркивать столбцы, где есть элементы, отмеченные в этой строке, и т.д. Вычеркнутые строки и столбцы являются выделенными.