Сепарабельное программирование (сп)

В сепарабельном программировании рассматриваются задачи, в которых целевая функция и все функции ограничений сепарабельны. Функция многих переменных сепарабельна, если она имеет вид суммы функций отдельных переменных:

f(x₁, x₂, ..., x_n) = (18)

Решение задач СП основано на преобразовании в задачи линейного программирования путем аппроксимации нелинейных функций кусочно-линейными. Исходная нелинейная задача заменяется аппроксимирующей линейной. Поэтому рассматриваемый метод является приближенным.

 - постановка

Предполагается, что переменные, которые входят в модель нелинейно, ограничены снизу и сверху: d_j  x_j  D_j.(19)

Для кусочно-линейной аппроксимации в этом диапазоне выбираются узловые точки. При этом первый узел совпадает с нижней границей, а последний – с верхней: X_j1= d_j, = D_j, где r_j – число интервалов по переменной x_j (r_j+1 – число узлов). Тогда рассматриваемая переменная x_j может быть выражена через новые переменные _jk в виде

, (20) , (21) . (22)

Выражение (20) называют уравнением сетки. С использованием узловых точек и новых переменных кусочно-линейная функция, аппроксимирующая

f_j(x_j), записывается в виде (23)

где f_j(X_jk) – значение функции в узловых точках. Очевидно, что – функция, линейная относительно _jk. Пусть N – множество индексов нелинейных f_j(x_j). Тогда функция, аппрокси­мирующая f(X), имеет вид (24)

Если переменная x_j входит нелинейно в несколько функций, узлы сетки выбираются с учетом нелинейности всех таких функций, так как для одной переменной может быть только одно уравнение сетки.

Поясним запись ограничений. Исходное ограничение _ij (x_j)  b_i со всеми нелинейными _ij. Тогда после аппроксимации оно принимает вид

Хотя аппроксимирующая задача линейная, получаемое на ней решение не всегда является приближением к решению исходной задачи.

Отсюда следует правило смежных весов: из одного уравнения сетки отличными от нуля могут быть не более 2-х переменных _jk со смежными значениями k.

Если аппроксимирующая задача является задачей выпуклого программирования, то это правило выполняется автоматически и решение находится методом ЛП. Оптимальное решение аппроксимирующей задачи будет приближением глобального решения исходной задачи.

В противном случае алгоритм ЛП должен включать правило ограниченного ввода: если в базисном решении находится _jk, то допустимыми для ввода могут быть только _jk+1 или _jk-1. При этом нельзя утверждать, что получаемое решение является приближением к глобальному оптимуму исходной задачи. Скорее оно будет приближением локального оптимума.

-постановка

Построение аппроксимирующей задачи основано так же на кусочно-линейном приближении, но меняется уравнение сетки. По узлам сетки вычисляются расстояния между смежными узлами _jk = X_jk+1 – X_jk

и уравнение сетки записывается в виде x_j = d_j + ; (25) 0  y_jk  1, (26)

где y_jk – новые переменные.

Для аппроксимации нелинейной составляющей функции критерия вычисляются разности ее значений в смежных узлах _jk = f_j (X_jk+1) – f_j (X_jk), с помощью которых записывается аппрокимирующая функция (27)

Тогда функция, аппроксимирующая критерий, имеет вид

Аналогично аппроксимируются ограничения _ij(x_j):

Также для задач не выпуклого программирования вводится правило ограниченного ввода.