4. Основы линейного программирования. Область применения. Постановка задачи

Задача, модель которой содержит только линейные функции искомых переменных, называется задачей линейного программирования (ЛП).

Модель задачи ЛП имеет вид (1)

(2)

(3)

Задача состоит в определении таких значений переменных, удовлетворяющих условиям (2) и (3), которые доставляют в зависимости от контекста максимум или минимум линейной форме.

Каноническая форма задач лп

Требования: все условия имеют вид равенства, все переменные ограничены по знаку.

Любую задачу ЛП можно привести к каноническому виду.

1.Если в исходной постановке критерий минимизируется, то если то

2.В исходной модели есть неравенства. Если , неизвестная величина, которую можно принять за новую переменную: Неравенство , новая переменная и равенство записывается в виде . Вновь вводимые переменные называются дополнительными, они по определению являются неотрицательными.

3.Некоторые переменные исходной модели не имеют ограничения на знак. Пусть – переменная, которая может иметь любой знак. Введем две неотрицательные переменные и во всей модели заменяем их разностью:

Стандартная форма задачи лп

Требования: все условия неравенства, все переменные ограничены по знаку.

.

Решив эту систему уравнений относительно первых q переменных, получим

Используя эти равенства, исключаем из целевой функции и ограничений, уменьшая тем самым количество переменных на q. Однако число ограничений не изменяется, так как для сохранения неотрицательности исключенных переменных должны выполняться неравенства Все ограничения задачи будут записаны в виде неравенств.

Основные понятия лп. Свойства задач лп

Множество D={xRn| AXB, X0} называется допустимым множеством задач ЛП, - это множество всех решений, удовлетворяющих всем ограничениям задачи.

Допустимое решение Х* является оптимальным для задачи максимизации, если выполняется неравенство L(X*)  L(X), XD.

Множество называется замкнутым, если оно содержит и свою границу, в противном случае оно открытое. Множество может быть ограниченным, если на нем все переменные ограничены снизу и сверху, и неограниченным, если хотя бы одна переменная на нем не ограничена. Непрерывное множество выпукло, если вместе с любыми двумя точками оно содержит и весь соединяющий их отрезок, иначе множество будет невыпуклым.

В задаче ЛП число неравенств, а, значит, число полупространств, конечно. Их пересечение и дает допустимое множество D. Пересечение конечного числа выпуклых полупространств, если оно не пустое, называется выпуклым многогранным множеством. Ограниченное выпуклое многогранное множество называется выпуклым многогранником. Допустимое множество задачи ЛП может быть или выпуклым многогранным множеством, или выпуклым многогранником, или пустым.

Критерий L=C_jX_j – линейная функция и поэтому удовлетворяет условиям как выпуклости, так и вогнутости одновременно. Из теории экстремумов известно, что максимум вогнутой функции или минимум выпуклой функции на выпуклом множестве может достигаться только на границе. Задача ЛП называется разрешимой, если она имеет хотя бы одно оптимальное решение, и неразрешимой в противном случае.

При решении задач ЛП возможны только три случая:

- Условия задачи противоречивы (несовместны), допустимое множество пустое и, следовательно, задача неразрешима.

- Условия задачи совместны, но допустимое множество неограниченно. Тогда возможны два исхода:

а) если критерий неограничен на этом множестве, то задача неразрешима;

б) если критерий ограничен, то задача разрешима.

- Условия непротиворечивы и множество является выпуклым многогранником. В этом случае задача всегда разрешима.

Если задача ЛП разрешима, то оптимальное решение обязательно достигается в вершине допустимого множества. Поэтому оптимальное решение следует искать не на всей границе, а только в вершинах допустимого множества.