309.Вейвлет Анализ

Вейвлет-анализ возник при обработке записей сейсмодатчиков в нефтеразведке и с самого начала был ориентирован на локализацию разномасштабных деталей. Выросшую из этих идей технику теперь обычно называют непрерывным вейвлет-анализом. Ее основные приложения: локализация и классификация особых точек сигнала, частотно-временной анализ нестационарных сигналов. Например, у таких сигналов, как музыка и речь, спектр радикально меняется во времени, а характер этих изменений - очень важная информация. Непрерывное вейвлет-преобразование также используется в медицине для анализа электрокардиограм.

         Другая ветвь вейвлет-анализа - ортогональный вейвлет-анализ. Главные его применения - сжатие данных и подавление шумов.

Непрерывное wavelet- преобразование определяется как:

это выражение представляет собой свертку сигнала   с функцией   переводящую сигнал из временной в wavelet-область с базисными функциями:

где  и   представляют растяжения и сдвиги одной функции (материнской wavelet ). Обратное преобразование определяется как:

где  Параметр   называют параметром масштаба, а параметр     параметром сдвига. Wavelet-преобразование не уникально в смысле возможности выбора различных материнских wavelet. Однако материнская wavelet должна обладать конечной энергией и ограниченной полосой частот, т.е.:

         Коэффициенты дискретного вейвлет-преобразования находятся следующим образом. Сначала выделяют постоянную составляющую сигнала. (Иногда этот щаг опускается, как, например, это сделано на рис. 2.) Затем считают свертку сигнала с материнским вейвлетом, растянутым на всю временную ось. После этого материнский вейвлет сжимают в два раза и считают коэффициенты его свертки с первой и второй половинами сигнала. Затем материнский вейвлет сжимают еще в два раза и считают следующие четыре коэффициента. В итоге на первых двух шагах получается по одному коэффициенту, а на последующих шагах число коэффициентов постоянно удваивается. Постоянно сжимающийся материнский вейвлет выявляет все более высокие частоты в спектра сигнала. А его положение на оси времени характеризует момент появления соответствующей частоты.

         В данной работе в качестве материнского вейвлета использовались функции sin и cos, причем распределение считалось оттдельно для sin и для cos, а на график выводилось среднее геометрическое от двух коэффициентов (корень из суммы квадратов). Такая схема вычислений оказалась на очень удобной из-за неортогональности базиса. Но качественные особенности вейвлет-преобразования сохраняются и в этом случае.

 

Рис. 1. Алгоритм вычисления коэффициентов дискретного вейвлет-преобразования

310.Синтез дискретных фильтров с линейной фазочастотной характеристикой

Фазовые характеристики фильтров, рассчитанных с помощью аппроксимации АЧХ оказываются как правило нелинейными. Поэтому групповая задержка этих фильтров

также является функцией частоты, что ведет к искажению формы сигналов, спектр которых находится в полосе пропускания фильтра. (Из-за разного времени задержки разных спектральных составляющих).

Это обстоятельство может быть несущественным, когда, например, требуется только обнаружить сигнал на фоне помех, а форма сигнала не имеет большого значения. В других случаях неискаженная форма сигнала на выходе фильтра имеет определяющее значение. Таковы например телевизионные и звуковоспроизводящие системы, системы обработки экономической информации, томографические системы и системы ультразвукового обследования.

Итак, если необходимо обеспечить минимум искажений сигналов, пропускаемых фильтром, при синтезе следует потребовать независимости группового времени задержки от частоты  или, что эквивалентно, линейности ФЧХ.

Для синтеза таких фильтров могут использоваться несколько подходов:

1. Использовать аппроксимацию, обеспечивающую постоянную групповую задержку (например, аппроксимацию Бесселя) совместно с методами, сохраняющими линейность ФЧХ (метод инвариантности импульсной характеристики).

Недостаток этого подхода — трудно обеспечить высокую избирательность (т.е. узкую переходную полосу) АЧХ фильтров, особенно полосовых и режекторных.

2. Использовать дополнительные корректирующие звенья.

В этом подходе сначала синтезируется ЦФ, имеющий заданную АЧХ. Определяется ФЧХ синтезированного фильтра   и  .

Затем синтезируется корректирующий фильтр с передаточной характеристикой (АЧХ)

, ₁<<₂

где ₁ и ₂ определяют границы полосы пропускания,  - постоянная, не зависящая от частоты.

 является передаточной характеристикой всепропускающего фильтра вида

, где a_1i, a_2i - постоянные коэффициенты.

3. Если имеется возможность обрабатывать данные как в прямом, так и в обратном порядке следования, а также имеется запас по времени, то можно использовать следующий прием:

пропустить входные данные X(nT) через ЦФ, результаты в обратном порядке вновь пропустить через этот же ЦФ.

При этом фазовый сдвиг, возникший при первом прохождении через ЦФ, будет компенсирован при втором прохождении через ЦФ.

Реализовать этот прием можно с использованием стека.

Однако при синтезе ЦФ требуется учесть, что данные через ЦФ проходят дважды. Это эквивалентно применению двухступенчатого фильтра с  .

Поэтому при синтезе ЦФ необходимо использовать   — требуемая АЧХ ЦФ.

Недостатками этих подходов является увеличение эквивалентного порядка ЦФ и как следствие — удлинение переходных процессов и потерь на переходных процессах.

4. Использование специальных методов синтеза нерекурсивных ЦФ с линейной ФЧХ.