Розв’язання

1. .

Знайдемо радіус збіжності заданого степеневого ряду. Маємо

, ,

тоді

.

Таким чином ряд є збіжним на інтервалі . Проведемо дослідження поведінки степеневого ряду на кінцях інтервалу збіжності.

Нехай , тоді степеневий ряд набуває вигляду . Маємо узагальнений гармонічний ряд. Так як , то такий ряд є збіжним.

Нехай , тоді степеневий ряд набуває вигляду . Маємо знакопереміжний ряд для якого виконуються умови теореми Лейбниця:

, .

Крім того, ряд складений з абсолютних величин, за попереднім дослідженням, є збіжним. Таким чином, знакопереміжний ряж збігається абсолютно.

Отже інтервалом збіжності степеневого ряду є .

2. .

Знаходимо радіус збіжності степеневого ряду. Маємо

, ,

тому

.

Отже заданий степеневий ряд є збіжним в точці , тобто .

3) .

Застосуємо ознаку Даламбера:

.

Для того, щоб ряд був збіжним необхідно щоб , тобто . Звідси

.

Проведемо дослідження на кінцях. Нехай , тоді маємо числовий ряд . Це узагальнений гармонічний ряд, оскільки , то такий ряд є розбіжним.

Нехай , тоді маємо знакопереміжний ряд для якого виконуються умови теореми Лейбниця:

, .

Крім того, ряд складений з абсолютних величин, за попереднім дослідженням, є розбіжним. Таким чином, знакопереміжний ряж збігається умовно. Отже інтервалом збіжності степеневого ряду є .

4. .

Застосуємо ознаку Даламбера:

.

Для того, щоб ряд був збіжним необхідно щоб , тобто . Звідси

.

Досліджуємо поведінку на кінцях інтервалу. Нехай , тоді . Загальний член ряду не прямує до нуля тому ряд є розбіжним. Аналогічно, якщо , то . Отже область збіжності степеневого ряду є .

Завдання 3. Розкласти по степеням ( х – а ) функції:

1) , а = 2; 2) , а = 1;

3) , а = 0; 4) , а = π.

Розв'язання

1. , а = 2.

Знайдемо значення функції та її похідним при а = 2:

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Таким чином, отримуємо наступний ряд

;

.

2) , а = 1.

Перепишемо задану функцію наступним чином: . Розкладемо функцію в ряд по степеням . Для цього в розкладі

, ( )

замінимо на , отримаємо

, ( ).

Отже,

3) , а = 0.

Спочатку знайдемо розклад для функції . Для цього в розкладі

( ).

Замінимо на , отримаємо

( ).

Таким чином,

4) , а = π.

Розкладемо функцію в степеневий ряд, скориставшись розкладом

( ).

Маємо

Замінимо в отриманому розкладі на :

Остаточно отримуємо ряд

Завдання 4. Розкласти в степеневий ряд інтеграли:

1) ; 2) .

Розв'язання

1) Замінимо підінтегральний вираз його розкладенням в степеневий ряд.

Тоді

2. Замінимо у підінтегральному виразі його розвиненням в степеневий ряд:

Тоді сам підінтегральний вираз набуває вигляду:

Отже,

.

Завдання 5.

1. Розкласти в ряд Фур'є періодичну функцію з періодом , задану на інтервалі рівнянням .