Тема 2 Сложный процент
Когда процент периодичности добавляется к основной сумме, а это новая сумма используется как основной для следующего временного периода и данная процедура повторяется определенное число периодов, окончательный итог называется составным итогом. Разница между составным итогом и первоначальной основной суммой называется сложным процентом. Период времени между двумя последовательными начислениями процентов называется периодом начисления процентов, или периодом конверсии, и может быть установлена в виде любой удобной временной продолжительности.
Если использованы обозначения:
Ρ – первоначальная основная сумма;
S – составной итог для Ρ;
n – количество процентных периодов;
m – количество периодов конвертации за один год;
ј – норма процента, которая конвертируется m раз в году;
і – норма процента за период конверсии (всегда і = ј/m), то
2.1
есть основная формула сложного процента.
В формуле (2.1) используются четыре параметра (величины). Если три из них известны, четвертая может быть найдена из этого уравнения.
Часто необходимо знать, какая основная сумма Ρ, инвестированная теперь, при данной норме процента, даст накопление до заданной итоговой суммы S к заданной более поздней дате. В этих условиях Ρ называется настоящей стоимостью суммы S. Разность S-Ρ называют сложным дисконтом от сумы S, а процесс определения настоящей стоимости, называется дисконтированием и используют уравнение (2.1) в виде:
2.2
Сумма, которую накопит один рубль за один год при норме ј, конвертируемой m раз, равна (1+і)m, где і = ј/m. При эффективной норме r один рубль за один год накопит сумму (1+r).
Приравняв эту сумму получим:
2.3
Равенство (2.3) связывает три величины r, ј, m, так что если два из них заданы, то третья может быть определена.
Любые две нормы процента – номинальные или эффективные, дающие одну и ту же составную итоговую сумму в конце года, называют годовым эквивалентами или, просто эквивалентными.
Тема 3 Уравнение эквивалентности.
Сумма платежа вместе с датой погашения называется датированной суммой.
Датированная сумма сравнивается по следующему правилу: сумма Ρ, полагающаяся на данную дату, эквивалентна при данной норме сложного процента і сумме S, полагающейся на n периодов конверсии позже, если является справедливым хотя бы одно из следующих равенств:
или
Таким образом, накопление или дисконтирование могут рассматриваться как простое преобразование заданной датированной суммы к другой дате. Преобразование делается в соответствии со следующей временной диаграммой:
Прошлая Настоящая Будущая
дата дата дата
D(1+)-n D D(1+)n
Прошлая и будущая суммы эквивалентны датированной сумме D.
Если две и более датированных сумм, преобразовать в эквивалентные датированные суммы с одной и той же датой погашения, то сумма таких эквивалентных сумм называется датированной суммой серии. Она будет изменяться в зависимости от даты, к которой преобразованы эквивалентные суммы.
Для сравнения двух итоговых сумм, погашаемых в различные даты, необходимо заменить их эквивалентными суммами, пересчитанными на одну и ту же дату. Величина разности полученных эквивалентных сумм будет различной в зависимости от использованной для сравнения даты. Разности, рассчитанные на различные даты, будут эквивалентны.
При данной норме сложного процента две серии платежей являются эквивалентными, если датированные суммы этих серий на любую текущую дату равны. Равенство, устанавливающее, что датированные суммы двух серий на общую дату равны, называются уравнением эквивалентности, или равенством стоимостей. Дата, используемая в этом равенстве, называется датой сравнения. В качестве даты сравнения может быть использована любая дата.
Использование уравнений эквивалентности показывает, что они связывают величины трех типов: суммы погашения, даты погашения и нормы процентов.
Когда серия обязательств заменяется единственным обязательством с суммой погашения, равной сумме сумм погашения всех обязательств серии, время выполнения этого обязательства при эквивалентной замене называется средней датой погашения, или датой эквивалентности.