Дивергенция и ротор магнитного поля.

М

Рис. 3.6.1

агнитная индукция бесконечно длинного прямого повода с током находится по формуле . Проведем через точку наблюдения, отстоящую от проводя на произвольное расстояние R окружность L концентричную проводу (см рис.3.6.1). На всей этой окружности значение неизменно, а сам вектор B направлен по касательной к окружности (B_l = B). Поэтому циркуляция вектора B по окружности вычисляется так:

.(₎, (3.7.1)К

Рис. 3.7.2

ак видим, циркуляцияB не зависит от радиуса окружности, а определяется только током, охваченным ею. Можно показать, что это свойство магнитного поля остается справедливым и для случая произвольного по форме контура интегрирования L, а также в том случае, когда через площадь S (см. рис.3.7.2), охваченную контуром протекают несколько токов, т.е.. (3.7.2)При этом под I подразумевается алгебраическая сумма этих токов. Знак плюс в этой сумме соответствует токам, направление которых связано с выбором направления вектора в левой части (3.7.2) правилом правого винта. Токи противоположного направления входят в суммарный ток, обозначенный в формуле (3.7.2) через I , со знаком минус (см. ток I₂ на рис.3.7.2).

Применим закон полного тока для бесконечно малой окружности площадью dS, через которую протекает бесконечно малый ток dI. Используя формулу, выражающую ток через площадку через плотность тока, т.е. dI =j dS, получим закон полного тока в дифференциальной форме:. (3.7.3)Формула (3.7.3) указывает на то, что ротор магнитного поля не равен тождественно нулю, как для электростатического поля. Поэтому вектор магнитной индукции в области, где протекают токи, не является градиентом никакой скалярной функции .В области, где протекают токи, ротор магнитного поля отличен от нуля. Это означает, что изображение магнитного поля магнитными силовыми линиями в этой области невозможно (силовая линия не может проходить через точку, где ротор не равен нулю, а как бы полностью стягивается в эту точку), не может быть введен и потенциал магнитного поля, т.к. в области, где протекают токи, не существует скалярной функции такой, что равно ее градиенту. Это свидетельствует о непотенциальности магнитного поля.

Сравним дифференциальные уравнения для магнитного поля с дифференциальными уравнениями, описывающими электростатическое поле (в пустоте): , ;

, . (3.7.4)

Дивергенция электростатического поля не равна нулю в области источников. Силовые линии электрического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Дивергенция магнитного поля везде равна нулю. Магнитные силовые линии вне источников магнитного поля замкнуты (в области источников поля вообще не имеют смысла). Ротор электростатического поля, как и его циркуляция, тождественно равен нулю. В любой точке вектор напряженности электростатического поля выражается через градиент некоторой скалярной функции, называемой потенциалом. Электростатическое поле потенциально. Ротор В не равен нулю в области источников. Из-за этого и циркуляция В не равна нулю в этой области. Вектор В не является градиентом никакой скалярной функции координат. Магнитное поле, таким образом, непотенциально (является вихревым)..

Итак, электрические токи (направленное движение заряда) создают магнитное поле, а

нескомпенсированные заряды – электростатическое поле. Внутри проводника имеется электрическое поле из-за наличия ЭДС в цепи с током. Вокруг проводника имеется магнитное поле, которое находится с помощью закона Био-Савара-Лапласа