Глава I исследование геометрической неизменяемости плоских стержневых систем
1. Общие сведения
Геометрически неизменяемой системой называется система, не изменяющая приданную ей геометрическую форму ни при каких изменениях положения ее в пространстве.
Наипростейшей неизменяемой системой является шарнирный треугольник (рис.1.1).
А
В
Рис.1.1. Шарнирный треугольник
Геометрически изменяемой системой называют такую, форма которой резко изменяется при изменении положения ее в пространстве или при нагружении даже весьма малой силой (например, шарнирно-стержневой прямоугольник рис.1.2).
Рис.1.2. Шарнирно-стержневой прямоугольник
Степенью свободы какого-либо тела или системы тел называется наименьшее число геометрических параметров (обобщенных координат – координат точек, углов наклона элементов системы, их длины), которые могут независимо друг от друга изменяться при движении системы относительно земли.
Степень свободы системы можно вычислить по формуле (1):
n = 3Д – 2Ш – 3Ж – Соп, (1),
где n – степень свободы системы;
Д – число дисков в системе;
Ш – суммарное число простых и приведенных к ним сложных шарниров;
Ж – суммарное число простых и приведенных к ним сложных жестких связей;
Соп – число опорных стержней.
Дисками называются элементы, составляющие плоскую систему.
Простым называют шарнир, соединяющий два стержня (рис.1.3, а)
Кратным называют шарнир, соединяющий более двух стержней (рис.1.3,б)
а) б)
Рис.1.3.
а) простой шарнир б) кратный шарнир
Чтобы система могла быть геометрически неизменяемой, необходимо соблюдение следующего условия:
n = 3Д – 2Ш – 3Ж – Соп ≤ 0 (2)
Условие (2) определяет необходимый, но еще недостаточный признак геометрической неизменяемости. Поэтому необходимо производить анализ геометрической структуры (кинематический анализ) рассматриваемой системы (пример 1.1.)
2. Пример 1.1.
Проверить геометрическую неизменяемость фермы, изображенной на рис.1.4.
Рис.1.4. Ферма
Решение
В системе, изображенной на рис.1.4, число дисков Д = 13 (стержни AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA, BH, BG, CG, GD, DF).
Число простых шарниров (А, Е) равно двум.
Каждый из шарниров (C, F, H) соединяет по три стержня, поэтому кратен двум простым шарнирам.
Каждый из шарниров B и D кратен трем простым.
Итого: Ш = 1х2 + 2х3 + 3х2 + 4х1 = 18.
Жестких узлов в системе нет Ж = 0.
Число опорных стержней Соп = 2+1 = 3.
Следовательно, по формуле (1):
n = 3Д – 2Ш – 3Ж – Соп = 3·13 – 2· 18 – 3 = 0, необходимое условие геометрической неизменяемости выполнено.
Рассмотрим структуру образования системы. Треугольник АВН – элементарная неизменяемая система (примем его за основной). К нему шарнирно при помощи двух стержней BH и GH прикреплен узел G. К полученной неизменяемой системе диадой BC и CG присоединен узел С, далее диадой CD и GD прикреплен узел D, диадой DF и GF присоединен узел F, диадой DE и EF – узел Е.
Итак, рассматриваемая система является геометрически неизменяемой.
Статически определимой называется геометрически неизменяемая система, реакции связей и внутренние усилия в элементах которой можно определить, используя только уравнения равновесия статики.
Статически неопределимой называется система, реакции связей и внутренние усилия в элементах которой не могут быть определены только с помощью уравнений равновесия статики, а требуется составление дополнительных уравнений, характеризующих деформацию данной системы.
Степень статической неопределимости системы равна числу лишних связей, при отбрасывании которых система, оставаясь геометрически неизменяемой, становится статически определимой.
Формула для определения степени статической неопределимости имеет вид:
Л = 2Ш + 3Ж + Соп – 3Д (3).
3. Вопросы для самопроверки
Перечислите основные задачи строительной механики
Какие системы называют геометрически неизменяемыми?
Какие системы называют геометрически изменяемыми?
Какие системы называют мгновенно изменяемыми?
Дайте определение простого и сложного шарниров.
Какую систему называют диадой?
Что такое диск?